科普介紹

▲描述一個約瑟夫森接面，其材料的內秉性質由 \(H_0\) 描述。在接面兩端施加電壓 \(V\)，超導波函數之間的交互作用以 \(K\) 表示，其運動方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} H_0 - \frac{qV}{2} & K \\ K & H_0 + \frac{qV}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix}. \] 當 \(q = -2e\)（古柏對）時，方程變為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} H_0 + eV & K \\ K & H_0 - eV \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix}. \]

\(\theta_A, n_A \)完整推導過程

第一條方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A} e^{i\theta_A}) = \frac{i}{2} \frac{e^{i\theta_A}}{\sqrt{n_A}} \frac{\partial n_A}{\partial t} - \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV) \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} + K\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}. \] 將實部與虛部分離後得到： \[ \frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} - n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV)n_A + K\sqrt{n_A n_B} e^{i(\theta_B - \theta_A)}. \] 其共軛方程為： \[ -\frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} - n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV)n_A + K\sqrt{n_A n_B} e^{-i(\theta_B - \theta_A)}. \]

將兩式相加可得： \[ -2n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = 2(H_0 + eV)n_A + 2K\sqrt{n_A n_B} \cos(\theta_B - \theta_A), \] 整理得到 \(\theta_A\) 的方程： \[ \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = -(H_0 + eV) - K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
將兩式相減可得： \[ i\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2iK\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A), \] 即： \[ \hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]

\(\theta_B, n_B \)完整推導過程

第二條方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}) = \frac{i}{2} \frac{e^{i\theta_B}}{\sqrt{n_B}} \frac{\partial n_B}{\partial t} - \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A} e^{i\theta_A} + (H_0 - eV)\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}. \] 拆分後為： \[ \frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} - n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A n_B} e^{-i(\theta_B - \theta_A)} + (H_0 - eV)n_B. \] 其共軛方程為： \[ -\frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} - n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A n_B} e^{i(\theta_B - \theta_A)} + (H_0 - eV)n_B. \]

將兩式相加可得： \[ -2n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \cos(\theta_B - \theta_A) + 2(H_0 - eV)n_B, \] 整理得到 \(\theta_B\) 的方程： \[ \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = -(H_0 - eV) - K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
將兩式相減可得： \[ i\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2iK\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A), \] 即： \[ \hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]

整理得出以下方程：

• 對於 \(\theta_A\)： \[ \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = -(H_0 + eV) - K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
• 對於 \(\theta_B\)： \[ \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = -(H_0 - eV) - K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
• 對於 \(n_A\)： \[ \hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]
• 對於 \(n_B\)： \[ \hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]

定義相位差 \(\Delta \theta = \theta_B - \theta_A\)，並將前兩個方程相減，可得： \[ \hbar \frac{\partial \Delta \theta}{\partial t} = 2eV + \frac{K}{\hbar} \left( \frac{n_B - n_A}{\sqrt{n_A n_B}} \right) \cos\Delta \theta. \] 將後兩條方程結合並定義電流 \(I\) 為： \[ -\frac{\partial n_A}{\partial t} = \frac{\partial n_B}{\partial t} \equiv \frac{I}{-2e}. \] 整理得到： \[ I = \frac{4eK}{\hbar} \sqrt{n_A n_B} \sin\Delta \theta \equiv I_c \sin\Delta \theta, \] 其中 \(I_c\) 為該約瑟夫森接面的臨界電流。

定義約瑟夫森接面的非線性電感： \[ L_J(\Delta \theta) = \left(\frac{2e}{\hbar I_c \cos\Delta \theta}\right). \] 電感儲存的能量為： \[ E = \int IV dt = \int I_0 \sin\Delta \theta \cdot \frac{\hbar}{q} \frac{\partial \Delta \theta}{\partial t} dt = -\frac{I_0 \hbar}{2e} \cos\Delta \theta \equiv -\frac{I_0 \Phi_0}{2\pi} \cos\Delta \theta, \] 其中，磁通量子 \(\Phi_0 = \frac{2\pi\hbar}{2e}\)，並定義： \[ E_J = \frac{I_0 \Phi_0}{2\pi}. \]

▲從線性的\(LC\)電路，變成以約瑟夫森節的非線性電感組合出的非線性\(LC\)電路。\(L_J\)為約瑟夫森節的電感值。