動能與位能項的互換
正則座標的選擇
實際上，要正確地透過對易關係（commutator relation）進行量子化，需要嚴格規定 \(x, p\) 的對應關係，否則可能會出現負號上的偏差。承接前一節，我們知道： \[ \dot{\Phi}_\# = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} = -\frac{Q}{C} \implies Q = -C\dot{\Phi}_\#. \] 現在，我們將 Lagrangian \(L\) 轉換到動量空間。
定義新的 Lagrangian \(\bar{\mathcal{L}}\) 為： \[ \bar{\mathcal{L}} \equiv \mathcal{L} - \frac{d}{dt} (\Phi_\# Q) = \mathcal{L} - \dot{\Phi}_\# Q - \Phi_\# \dot{Q}, \] 展開後可得： \[ \bar{\mathcal{L}} = \frac{L\dot{Q}^2}{2} - \frac{Q^2}{2C} - \dot{\Phi}_\# Q - \Phi_\# \dot{Q} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} - \frac{C\dot{\Phi}_\#^2}{2} + C\dot{\Phi}_\#^2 - \frac{\Phi_\#^2}{L}, \] 簡化為： \[ \bar{\mathcal{L}} = \frac{C\dot{\Phi}_\#^2}{2} - \frac{\Phi_\#^2}{2L}. \]
注意，此時 \(\mathcal{L}(Q, \dot{Q}) \to \bar{\mathcal{L}}(\Phi_\#, \dot{\Phi}_\#)\)，動能與位能的角色互換。同時，有 \(\bar{\mathcal{L}} = -\mathcal{L}\)，對應於 Lagrangian 的反對稱性。為吸收這一反對稱性，我們定義新的變量： \[ \Phi = -\Phi_\#. \] 這使得： \[ \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi) = \frac{C\dot{\Phi}^2}{2} - \frac{\Phi^2}{2L}. \]
對應的正則動量 \(\Pi\)（並利用前述結果與 \(Q\) 進行聯繫）： \[ \Pi \equiv \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial \dot{\Phi}} = C\dot{\Phi} = -C\dot{\Phi}_\# = Q \implies \dot{\Phi} = \frac{\Pi}{C} = \frac{Q}{C}. \]
Hamiltonian \(\bar{\mathcal{H}}\) 定義為： \[ \bar{\mathcal{H}} = \Pi\dot{\Phi} - \bar{\mathcal{L}} = \frac{\Pi^2}{C} - \frac{\Pi^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L} = \frac{\Pi^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L}, \] 與先前的 \(\mathcal{H}\) 完全一致。此時的量子化條件為： \[ [\Phi, \Pi] = [\Phi, Q] = i\hbar, \] 與傳統條件相同。
定義新的變量 \(a\)、\(a^\dagger\)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( \sqrt{\frac{C}{L}} \Phi + iQ \right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( \sqrt{\frac{C}{L}} \Phi - iQ \right). \] 反之： \[ \Phi = \sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} (a^\dagger + a), \quad Q = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}} (a^\dagger - a). \]
易證 \([a, a^\dagger] = 1\)： \[ [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = \frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}} \left[ \Phi, Q \right] = 1. \] Hamiltonian \(H(\Phi, Q)\) 可改寫為： \[ \mathcal{H} = \frac{\Phi^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C} = \frac{\hbar}{4\sqrt{LC}} \left[ (a^\dagger + a)^2 - (a^\dagger - a)^2 \right]. \] 由於 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)，展開後可得： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar \omega}{4} \left[ (a^\dagger + a)^2 - (a^\dagger - a)^2 \right] = \hbar \omega \left[ a^\dagger a + \frac{1}{2} \right]. \]
最終，我們再次得到量子化後的 Hamiltonian，其中每個能階的差異為 \(\hbar \omega\)。
王培儒