科普介紹

現代電腦運作的原理利用位元進行資訊的儲存、邏輯閘進行運算。資訊會以二進制的編碼表示成0與1的代碼，再將一系列位元依指定的方式變成0或1的狀態，來儲存資訊。例如說，想要儲存19這個數字資訊，換算成二進制表示為10011，這時候可以如果記憶體為八個位元做存儲：

\[ \ket{bit_1} \ket{bit_2} \ket{bit_3} \ket{bit_4} \ket{bit_5} \ket{bit_6} \ket{bit_7} \ket{bit_8} \] 狀態改變成： \[ \ket{0} \ket{0} \ket{0} \ket{1} \ket{0} \ket{0} \ket{1} \ket{1} \]

在量子簡諧振子中，不同能階 \( n \)，可以用 \( a^\dagger \) 和 \( a \) 來聯繫：

\[ \ket{n+1} = \frac{a^\dagger}{ \sqrt{n+1}} \ket{n}, \quad \ket{n-1} = \frac{a}{ \sqrt{n} }\ket{n}, \quad \ket{n} = \frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} \ket{0} \]

在此情況下：

\[ a^\dagger = \left(\begin{matrix} 0 &1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right) \]

\[ a = \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right) \]

這是一個無窮維的量子系統。一個超導量子位元是取 Transmon 的基態 \( \ket{0} \)（或 \( \ket{g} \)）與第一激發態 \( \ket{1} \)（或 \( \ket{e} \)）作為運算單元。在量子計算的二維框架下：

\[ a^\dagger \rightarrow \sigma^+ = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \quad a \rightarrow \sigma^- = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

此時可以定義：

\[ \sigma_x = \sigma^+ + \sigma^- = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}, \quad \sigma_y = i \left(\sigma^+ - \sigma^- \right)= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix}, \quad \sigma_z = \mathbb{I} - 2\sigma^+\sigma^- = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \]

即是大名鼎鼎的包立矩陣。這邊有一些代數結構：

\[ \{\sigma^-, \sigma^+\} = \sigma^-\sigma^+ + \sigma^+\sigma^- = \mathbb{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}, \quad [\sigma^-, \sigma^+] = \sigma^-\sigma^+ - \sigma^+\sigma^- = \sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \]

對於 \( i, j, k = x, y, z \)：

\[ \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij}\mathbb{I} + i\epsilon_{ijk}\sigma_k \]

包立矩陣與三維空間的旋轉高度相關。但讀者也許想問，為何二維的位元系統會出現三維旋轉呢？下一節將討論所謂的量子位元與布洛赫球表示。