科普介紹

布洛赫球是一個用來幾何化描述量子位元狀態的工具。在二維量子位元系統中，任何量子態都可以表示為基態 \( \ket{0} \) 和激發態 \( \ket{1} \) 的線性組合：

\[ \ket{\psi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}, \] 其中 \( \alpha, \beta \) 為複數，滿足正規化條件 \( |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \)。

若將 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 表示為球坐標系中的參數，我們可以寫成：

\[ \ket{\psi} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\ket{0} + e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\ket{1}, \] 其中 \( \theta \) 是 \( z \)-軸與量子態向量的夾角，\( \phi \) 是 \( x \)-\( y \) 平面內的相位角。

這個表示法使得量子位元的狀態可以被視為一個位於半徑為1的三維球面上的點，這就是布洛赫球。布洛赫球上的特殊點包括：

• 北極 (\( \theta = 0 \)): 對應 \( \ket{0} \)
• 南極 (\( \theta = \pi \)): 對應 \( \ket{1} \)
• 赤道 (\( \theta = \pi/2 \)): 對應等幅超位置態，例如 \( \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + e^{i\phi}\ket{1}) \)

布洛赫球的三個坐標軸對應於包立矩陣的期望值：

\[ x = \langle \sigma_x \rangle, \quad y = \langle \sigma_y \rangle, \quad z = \langle \sigma_z \rangle, \] 其中： \[ \langle \sigma_x \rangle = 2\text{Re}(\alpha^*\beta), \quad \langle \sigma_y \rangle = 2\text{Im}(\alpha^*\beta), \quad \langle \sigma_z \rangle = |\alpha|^2 - |\beta|^2. \]

透過布洛赫球表示，我們可以直觀地觀察量子位元的狀態演化。例如，若量子位元受到一個旋轉操作 \( R_x(\theta) = e^{-i\theta \sigma_x / 2} \)，其狀態會沿著 \( x \)-軸旋轉角度 \( \theta \)。這種幾何化描述對量子計算的控制與觀測提供了極大的便利。

布洛赫球不僅是描述單個量子位元的工具，也是理解量子閘操作、量子糾纏以及相干性的基石。在後續內容中，我們將進一步探討如何利用布洛赫球來進行量子計算的設計與模擬。