形式化 Lagrangian 動能與位能的互換
從 \(L(\dot{Q}, Q)\) 出發，基於 Lagrangian 動能與位能的反對稱性，我們定義對應 \(\dot{Q}\) 的正則動量 \(\Phi\) 時手動加入一個負號，以吸收反對稱性（否則後續的 Hamiltonian 會為負）： \[ \Phi \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \implies \dot{\Phi} = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q}. \] 接下來，我們將 Lagrangian 換到 \((\dot{\Phi}, \Phi)\) 空間，即動量空間的 Lagrangian \(\bar{\mathcal{L}}\)： \[ \bar{\mathcal{L}} \equiv \mathcal{L} + \frac{d}{dt} (\Phi Q) = \mathcal{L} + \dot{\Phi} Q + \Phi \dot{Q}. \]
利用微分的方式，可以證明 \(\bar{\mathcal{L}} = \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi)\) 是 \((\dot{\Phi}, \Phi)\) 空間的函數： \[ d\bar{\mathcal{L}} = d\mathcal{L} + d(\dot{\Phi} Q) + d(\Phi \dot{Q}) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} d\dot{Q} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} dQ + Qd\dot{\Phi} + \dot{\Phi}dQ + \dot{Q}d\Phi + \Phi d\dot{Q}. \] 展開後，因為 \(-\Phi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}}\)，我們有： \[ d\bar{\mathcal{L}} = -\Phi d\dot{Q} - \dot{\Phi} dQ + Q d\dot{\Phi} + \dot{\Phi} dQ + \dot{Q} d\Phi + \Phi d\dot{Q} = Q d\dot{\Phi} + \dot{Q} d\Phi. \]
此時，對應 \(\dot{\Phi}\) 的正則動量 \(\Pi\) 為： \[ \Pi = \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial \dot{\Phi}} = Q, \] 即與原來的 \(Q\) 相同。對應的 Hamiltonian \(\bar{\mathcal{H}}\) 定義為： \[ \bar{\mathcal{H}} = \Pi \dot{\Phi} - \bar{\mathcal{L}} = Q\dot{\Phi} - \mathcal{L} - \dot{\Phi} Q - \Phi \dot{Q} = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}. \] 最終形式為： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}. \]
這樣，我們可以簡化後續的推導，只需遵循以下步驟：
- 寫下 \(L(\dot{Q}, Q)\)。
- 定義 \(\Phi \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}}\)，並得到 \(\dot{Q}\) 與 \(\Phi\) 的關係。
- 直接求出對應的 Hamiltonian： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}, \] 並將 \(\dot{Q}\) 代入前述關係式。
- 量子化條件： \[ [Q, \Phi] = i\hbar. \]
這樣無需經過繁瑣的轉換 \(L(\dot{Q}, Q) \to \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi) \to \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi)\)。特別是在後續引入外力耦合項時（如在推導如何驅動與讀取量子位元時，外部訊號與量子位元交互作用，或是兩個量子位元之間的耦合），如果按照繁瑣的推導，會出現類似於電磁場下的動量 \(p \to p - eA\) 的情況，在中間轉換時極度複雜。
註：注意到： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q} = -\mathcal{L} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \dot{Q} = H(\Phi, Q). \] \(H(\Phi, Q)\) 就是傳統上熟悉的 Hamiltonian。同時，\(\bar{\mathcal{H}} = H\) 再一次表明了 Hamiltonian 動能與位能的對稱性。
王培儒