科普介紹

正則量子化是針對古典系統引入量子結構的一套方法，其核心是將 Hamiltonian 的 Poisson 結構替換為對易關係（commutator relation）。在前一節中，我們已經給出了 Lagrangian，現在透過 Lagendre 變換即可得到 Hamiltonian。

正則動量 \(\Phi_\#\) 定義為： \[ \Phi_\# \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} = \mathcal{L}\dot{Q} \leftrightarrow \dot{Q} = \frac{\Phi_\#}{L}. \] 此處 \(\Phi_\#\) 的單位與磁通量相同，可以視為電感內部的磁通量。Hamiltonian \(H(\Phi_\#, Q)\) 定義為： \[ \mathcal{H} \equiv \Phi_\# \dot{Q} - \mathcal{L} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C}. \]

在量子系統中，正則座標 \(q\) 和正則動量 \(p\) 滿足對易關係： \[ [x, p] = i\hbar. \] 對於本文中的參數，量子化條件為： \[ [Q, \Phi_\#] = i\hbar. \]

本文目前採用 \(\Phi_\#\) 作為記號，這是因為與傳統文章採用的方式相反。傳統文章中，Hamiltonian 對於 \(\Phi_\#\) 與 \(Q\) 的地位是對稱的，定義誰是正則座標、誰是正則動量「似乎」是可以對換的（然而，Lagrangian 中動能和位能是反對稱的）。因此，本文直接反過來，將磁通量的部分作為廣義坐標，記為 \(\Phi\)，而 \(Q\) 作為廣義動量。

在這種情況下，量子化條件變為： \[ [\Phi, Q] = i\hbar, \] 與本文的選擇差一個負號，即： \[ \Phi = -\Phi_\#. \] 這個負號也可以由 Lagrangian 的反對稱性進一步解釋。

有一種說法是因為後續會利用非線性的電感元件:約瑟夫森節（Josephson junction）取代線性電感，此非線性項如果出現在位能項比較好理解。不過，後面在驅動量子位元的時候，也是施加電容電壓來驅動，此時卻反而像驅動動能而不是驅動位能。以計算而言，誰是動能誰是位能是沒有差的。

我們引入新的變量 \(a\)、\(a^\dagger\)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( Q + i\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi_\# \right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( Q - i\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi_\# \right). \] 反之，可以表示為： \[ Q = \sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}} (a^\dagger + a), \quad \Phi_\# = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} (a^\dagger - a). \]

易證 \([a, a^\dagger] = 1\)： \[ [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = \frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}} \left[ Q, \Phi_\# \right] = 1. \] 我們可以利用 \(a\)、\(a^\dagger\) 重寫 Hamiltonian \(H(\Phi_\#, Q)\)： \[ \mathcal{H} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C} = \frac{\hbar \omega}{4} \left[ - (a^\dagger - a)^2 + (a^\dagger + a)^2 \right], \] 其中 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)。 展開後可得： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar \omega}{2} \left[ a^\dagger a + a^\dagger a + 1 \right] = \hbar \omega \left[ a^\dagger a + \frac{1}{2} \right]. \]

最終得到量子化後的 Hamiltonian，每個能階差為 \(\hbar \omega\)。