超導量子電腦架構

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PHYS598500 · Week 2 · T2

超導電路量子化與 Transmon 設計

Circuit Quantization and Transmon Design

本週定位

課程長度：120 分鐘

核心問題：我們能不能用超導電路製造一顆可以自行設計的人工原子？

先備：Lagrangian/Hamiltonian mechanics、LC circuit、基礎 superconductivity

W2 人工原子與 Transmon：五問主線

5 題

  1. 一個巨觀電路為什麼可能具有量子能階？

  2. 超導電路中，什麼東西扮演位置與動量？

  3. 為什麼最簡單的人工原子仍然不是 qubit？

  4. Josephson junction 如何塑造人工原子的能階？

  5. 為什麼人工原子最後設計成 Transmon？

前言：我們能不能用電路製造一顆原子？

自然原子的離散能階來自電子在庫倫位能中的量子運動；超導量子位元則由電荷、磁通量與 Josephson phase 的量子運動形成。這一週不以公式推導作為故事主角，而是沿著一個問題前進： 如果自然原子的大小、頻率與能階幾乎不能由我們決定，我們能不能製造一顆可以自行設計的人工原子？

先看 T2 十問次序與 Outlook

時間 問題 本段產出
0–10 分 人工原子開場與先備診斷 自然原子／電路人工原子的比較圖
10–30 分 問題一：巨觀電路的量子能階 巨觀量子相位與電路模式的概念鏈
30–50 分 問題二：電路的共軛變數 \((\Phi,Q)\) 與 \((\varphi,n)\) 對照
50–70 分 問題三：LC oscillator 的限制 等間距能譜與不可選擇控制
70–95 分 問題四：Josephson nonlinearity cosine potential 與 anharmonicity
95–115 分 問題五：Transmon 的設計選擇 charge dispersion／anharmonicity trade-off
115–120 分 Exit ticket 與逆向作業 geometry → Hamiltonian 假說

問題一：一個巨觀電路為什麼可能具有量子能階？

10–30 分鐘

「巨觀」不等於「必然古典」。超導體中的 Cooper pairs 形成具有共同相位的凝聚態；在低溫、低損耗與受控電磁環境下， 電路的集體模式可以保持足夠長的量子相干性。量子化的不是某一顆電子的位置，而是整個電路模式的電荷、磁通量與相位自由度。

先拆開一個常見誤解：粒子很多，不代表自由度一定很多

一塊超導金屬當然含有極大量的電子；但我們在低能量下不必逐一追蹤每顆電子。電子先形成 Cooper pairs， 再凝聚成一個具有長程相位關係的多體量子態。它可以用一個巨觀 order parameter 表示：

\[ \Psi(\mathbf r,t)=\sqrt{n_s(\mathbf r,t)}\,e^{i\theta(\mathbf r,t)}. \]

這裡 \(n_s\) 描述凝聚態密度，\(\theta\) 描述相位。絕對相位本身不是可觀測量；不同超導節點之間的 gauge-invariant phase difference 才會進入電流、磁通量與電路能量。也就是說，許多微觀粒子可以一起形成少數幾個 可控制的集體座標。真正要問的不是「電路裡有多少電子」，而是「低能量動力學最後剩下幾個獨立模式」。

類比而言，一根音叉也由大量原子組成，但最低振動可由一個 normal-mode amplitude 描述。超導電路的關鍵差別是： 這個集體模式可以在低溫與低損耗環境中進入量子極限，而不只表現為古典振動。

從巨觀相位到一個可以量子化的電路模式

超導體提供的並不只是「電阻等於零」。superconducting gap 抑制低能 quasiparticle excitation，凝聚態則提供相位剛性； 配合適當的電容、電感與邊界條件，整個電路可只留下少數低損耗的 electromagnetic modes。對其中一個模式，可先用 branch flux 作為座標：

\[ \Phi(t)\equiv\int^t V(t')\,dt', \qquad \varphi\equiv\frac{2\pi\Phi}{\Phi_0}, \qquad \Phi_0=\frac{h}{2e}. \]

電容儲存 electric energy，電感儲存 magnetic energy。若先看最簡單的單一 LC mode，它的 classical Hamiltonian 是

\[ H_{\rm mode}(\Phi,Q) =\frac{Q^2}{2C_{\rm eff}}+\frac{\Phi^2}{2L_{\rm eff}}, \qquad \omega=\frac{1}{\sqrt{L_{\rm eff}C_{\rm eff}}}. \]

第一項讓任意 charge accumulation 付出能量，第二項讓 flux 偏離平衡點時付出能量；兩者共同把這個自由度束縛成一個 normal mode。把這對電路變數提升為量子算符後，模式便成為 quantum harmonic oscillator：

\[ \hat H_{\rm mode} =\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\right), \qquad E_m=\hbar\omega\left(m+\frac12\right), \quad m=0,1,2,\ldots \]

這就是「巨觀電路具有離散量子能階」的最短存在性證明：先找到一個有 restoring energy 的集體模式，再量子化該模式。 問題二會正式回答 \(\Phi\) 與 \(Q\) 為何構成共軛變數；問題三則會追問：這串等間距能階為什麼仍然不能直接當作 qubit。

能階存在是一回事，實驗上看得見又是另一回事

形式上量子化之後一定有 \(E_m\)；但若 thermal fluctuation 或環境造成的 linewidth 大於能階尺度，實驗只會看到近似連續的 古典響應。要讓最低幾個能階可辨認，至少需要

\[ k_BT\ll\hbar\omega, \qquad \hbar\kappa,\;\hbar\gamma_\phi\ll\hbar\omega, \]

其中 \(\kappa\) 是 mode energy decay rate，\(\gamma_\phi\) 是 dephasing rate。第一個條件抑制熱激發，後兩個條件避免 能階被 relaxation 與 phase noise 展寬到無法分辨。熱平衡下的平均 excitation number 為

\[ \bar n_{\rm th}=\frac{1}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}. \]

例如 \(f=\omega/2\pi=5\,\mathrm{GHz}\) 時，\(hf/k_B\approx0.24\,\mathrm{K}\)。若晶片模式真的熱化到 \(T=20\,\mathrm{mK}\)，則 \(\bar n_{\rm th}\approx6\times10^{-6}\)：系統幾乎都在 ground state。 實驗中仍須以 attenuation、filtering、shielding 與良好的封裝，避免 hot photons 與外界雜訊把有效溫度拉高。

為什麼日常電路看起來仍然是古典的？

日常 RLC circuit 並不是「沒有量子力學」，而是量子結構通常被三件事遮住：室溫使許多能階同時被佔據；電阻與環境耦合使 linewidth 變寬；強驅動又讓模式包含大量 quanta。對平均 photon number \(N=|\alpha|^2\gg1\) 的 coherent state， 相對 fluctuation 約按 \(1/\sqrt N\) 縮小，因此運動自然逼近 classical waveform。超導、稀釋製冷與 microwave engineering 的作用，就是把同一類電路推回 \(N\sim0,1\) 且 loss 足夠小的區域。

因此，一個巨觀電路能顯示量子能階，需要依序完成四個環節：

  • 超導凝聚態與 Cooper-pair condensate：把大量電子組織成一個相位相干的低能多體態。
  • 巨觀量子相位：讓不同節點之間的 phase difference 成為可進入電路動力學的集體變數。
  • 低損耗電路與低溫環境：使 \(k_BT\) 與 energy linewidth 都小於 mode quantum \(\hbar\omega\)。
  • 集體電路模式的量子化：由 circuit energy 找出 bounded normal mode，得到離散的 \(E_m\)。

核心判斷：電路是否具有量子能階，取決於它是否存在可辨認、可量子化並能與環境足夠隔離的集體自由度。 「具有離散能階」只完成了人工原子的第一步；能不能只選擇性控制其中兩階，則是後面三問要解決的設計問題。

單元 2：什麼是超導量子位元？

2.1 Artificial Atoms from Superconducting Circuits

超導量子位元可以被視為人工原子。 自然原子的能階來自電子在原子核庫倫位能中的量子化運動； 超導量子位元的能階則來自電路中電荷、磁通量與 Josephson phase 的量子化運動。

在古典 LC 電路中，能量在電容的電場能與電感的磁場能之間交換，形成諧振。 若把 LC 電路量子化，它會形成 quantum harmonic oscillator。 然而，理想 harmonic oscillator 的能階間距完全相等，無法單獨選取最低兩個能階作為 qubit。 因此，超導 qubit 必須引入非線性，使能階間距不再相等。

超導現象與 Josephson Junction

3.1 Superconductivity

超導是一種低溫量子凝聚態現象。當某些材料被冷卻到臨界溫度 \(T_c\) 以下時， 電阻消失，並且會排斥內部磁場，這稱為 Meissner effect。 在微觀層次中，電子透過與晶格振動的交互作用形成 Cooper pairs， 大量 Cooper pairs 進一步凝聚成具有共同相位的巨觀量子態。

超導體的重要特性

  • Zero resistance：直流電阻消失，使電路耗散大幅降低。
  • Meissner effect：超導體排斥磁場，形成磁通量屏蔽。
  • Cooper pair condensate：電子成對凝聚，形成巨觀量子相干態。
  • Macroscopic phase：超導態可用一個巨觀相位 \(\phi\) 描述。
  • Flux quantization：超導迴路中的磁通量以 \(\Phi_0 = h/2e\) 為單位量子化。

3.2 Macroscopic Quantum Phase

超導凝聚態可以用一個巨觀波函數描述：

\[ \Psi({r}) = |\Psi({r})| e^{i\phi({r})} \]

其中 \(\phi\) 是超導相位。對超導量子電路而言， 這個相位不只是抽象變數，而是可以作為電路自由度並被量子化。 因此，超導量子電路中的重要變數通常包含電荷數 \(n\) 與相位 \(\varphi\)， 並滿足類似位置與動量的共軛關係。

\[ [\hat{\varphi}, \hat{n}] = i \]

問題二：超導電路中，什麼東西扮演位置與動量？

30–50 分鐘

機械系統以 position 與 momentum 描述狀態；電路則可用 node flux 與 node charge 描述。 Josephson circuit 中常改用 dimensionless phase \(\varphi\) 與 Cooper-pair number \(n\)。

第一步：不要把 voltage 當成 generalized coordinate

對一個電路節點，先選 ground 作為參考，定義 node voltage \(V(t)\)。但 Lagrangian mechanics 需要的是一個座標及其 time derivative，因此我們定義 node flux

\[ \Phi(t)\equiv\int_{-\infty}^{t}V(t')\,dt', \qquad \dot\Phi(t)=V(t). \]

名稱雖然叫 flux，它並不一定等於某個線圈內的磁通量；它首先是 voltage 的時間積分，單位同樣是 weber。 對連接節點 \(i,j\) 的 branch，branch flux 是 \(\Phi_i-\Phi_j\)。選定 spanning tree 與 ground 後， 獨立 node flux 就構成電路的 generalized coordinates。

第二步：從 LC energy 讀出 canonical momentum

對最簡單的平行 LC mode，capacitor voltage 是 \(\dot\Phi\)，inductor current 是 \(\Phi/L\)。因此 electric energy 與 magnetic energy 分別為

\[ T=\frac12C\dot\Phi^2, \qquad U=\frac{\Phi^2}{2L}. \]

電路 Lagrangian 取 kinetic-like energy 減 potential-like energy：

\[ \mathcal L(\Phi,\dot\Phi) =\frac12C\dot\Phi^2-\frac{\Phi^2}{2L}. \]

與 \(\Phi\) 共軛的 canonical momentum 由定義直接算出：

\[ Q\equiv\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\Phi} =C\dot\Phi=CV. \]

\(CV\) 正是 capacitor 上儲存的 charge。也就是說，node charge 不是靠類比猜出的「動量」； 它是從 circuit Lagrangian 對 \(\dot\Phi\) 微分後必然得到的 canonical momentum。

第三步：Legendre transform 得到 Hamiltonian

由 \(\dot\Phi=Q/C\)，執行 Legendre transform：

\[ H(\Phi,Q) =Q\dot\Phi-\mathcal L =\frac{Q^2}{2C}+\frac{\Phi^2}{2L}. \]

因此機械 oscillator 與 LC oscillator 的對應不是只停在圖像類比，而是完整的 canonical mapping：

  • \(x\longleftrightarrow\Phi\)：描述系統偏離平衡點的 generalized coordinate。
  • \(p\longleftrightarrow Q\)：由 Lagrangian 對 generalized velocity 微分得到的 canonical momentum。
  • \(m\longleftrightarrow C\)：決定「動量項」\(Q^2/2C\) 的尺度。
  • \(k\longleftrightarrow1/L\)：決定 restoring potential \(\Phi^2/2L\) 的曲率。

第四步：canonical quantization

把 classical canonical pair 提升為 operators，並施加

\[ [\hat\Phi,\hat Q]=i\hbar, \qquad \Delta\Phi\,\Delta Q\geq\frac{\hbar}{2}. \]

在 flux representation 中，state 是 \(\psi(\Phi)\)，而

\[ \hat\Phi\,\psi(\Phi)=\Phi\,\psi(\Phi), \qquad \hat Q\,\psi(\Phi)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\Phi}\psi(\Phi). \]

所以一個 state 若在 flux 上非常 localized，就必須包含很廣的 charge distribution；反之亦然。 這個 uncertainty relation 之後會成為 qubit design 的核心，而不是只有形式上的量子化規則。

第五步：Josephson circuit 改用 phase 與 Cooper-pair number

對超導節點，把有單位的 flux 與 charge 重新縮放：

\[ \varphi\equiv\frac{2\pi\Phi}{\Phi_0} =\frac{2e}{\hbar}\Phi, \qquad n\equiv\frac{Q}{2e}, \qquad \Phi_0=\frac{h}{2e}. \]

\(n\) 的正負會隨 branch orientation convention 改變；重要的是 \(2en\) 表示以 Cooper-pair charge 為單位的節點電荷。 代入上一個 commutator：

\[ [\hat\varphi,\hat n] =\frac{2e}{\hbar}\frac{1}{2e}[\hat\Phi,\hat Q] =i. \]

因而在 phase representation 中

\[ \hat n=-i\frac{\partial}{\partial\varphi}, \qquad e^{\pm i\hat\varphi}\ket n=\ket{n\pm1}. \]

最後一式把 phase 與 charge 的物理關係說得很清楚：\(e^{\pm i\hat\varphi}\) 會讓島上的 Cooper-pair number 改變一個單位。 因此 Josephson term 也可寫成

\[ -E_J\cos\hat\varphi =-\frac{E_J}{2}\left(e^{i\hat\varphi}+e^{-i\hat\varphi}\right), \]

它在 phase picture 是 cosine potential；在 charge picture 則是相鄰 charge states 之間的 coherent tunneling。 兩種圖像描述的是同一個 Hamiltonian。

因此 charge 與 phase 不能同時具有任意精確的值。後面所有 qubit 類型的差異，實際上都可視為在不同能量尺度下， 重新安排這一對共軛變數的 fluctuation、localization 與 sensitivity。較大的 charging energy 傾向限制 charge fluctuation， 較大的 Josephson energy 則傾向把 phase 限制在 cosine potential 的 minimum 附近；兩者不可能同時被任意壓窄。

問題二結論：超導電路中的「位置」是 node flux \(\Phi\) 或 dimensionless phase \(\varphi\)； 對應的「動量」是 node charge \(Q\) 或 Cooper-pair number \(n\)。這不是命名習慣，而是由 \(\mathcal L(\Phi,\dot\Phi)\) 的 canonical structure 推導出來。

LC電路的正則量子化

簡諧振蕩

量子物理中常見的簡諧振蕩，經過量子化後能產生離散的能階，這正是量子計算基礎中的量子位元所依賴的概念。量子位元需要以具有量子效應的元件為基礎，利用超導體作為量子材料，結合 LC 振蕩電路的概念，製造出超導量子位元。本節將首先討論 LC 電路的量子化過程。



▲一個基礎的 \(LC\) 振蕩電路包含一個電感 \(L\) 和一個電容 \(C\)。定義電容攜帶的電荷為 \(Q\)，當電容儲存的電荷改變速度（即 \(\dot{Q}\)）時，即表示電路上的流動電流。電容和電感分別儲存的能量可表達為： \[ E_C = \frac{Q^2}{2C}, \quad E_L = \frac{L\dot{Q}^2}{2}. \] 我們可以將 \(E_L\) 視為動能項 \(T\)，將 \(E_C\) 視為位能項 \(U\)，從而定義拉格朗日量 \(L\)： \[ \mathcal{L}(\dot{Q}, Q) = T - U = \frac{L\dot{Q}^2}{2} - \frac{Q^2}{2C}. \]

根據歐拉-拉格朗日方程： \[ \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} = 0, \] 我們得到： \[ L\ddot{Q} + \frac{Q}{C} = 0 \implies \ddot{Q} + \frac{Q}{LC} = 0, \] 即描述一個以頻率 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) 振蕩的簡諧運動。

量子化古典LC電路

什麼是正則量子化？

正則量子化是針對古典系統引入量子結構的一套方法，其核心是將 Hamiltonian 的 Poisson 結構替換為對易關係（commutator relation）。在前一節中，我們已經給出了 Lagrangian，現在透過 Lagendre 變換即可得到 Hamiltonian。

LC Circuit

LC 電路的基本關係

LC 電路由電容 \(C\) 與電感 \(L\) 組成。電容與電感的基本關係分別為： \[ \left\{ \begin{aligned} \text{Capacitor:}\qquad I_C &= C\frac{dV_C}{dt},\\[6pt] \text{Inductor:}\qquad V_L &= L\frac{dI_L}{dt}. \end{aligned} \right. \] 由於瞬時功率為 \(IV\)，因此電路元件所儲存的能量可以寫成： \[ E=\int_{0}^{t}IV\,dt. \]

令 \(Q\) 表示電容上的電荷，則電路電流可以寫成 \(I=\dot{Q}\)。電容與電感所儲存的能量分別為： \[ \left\{ \begin{aligned} E_C &= \frac{Q^2}{2C},\\[6pt] E_L &= \frac{L\dot{Q}^{\,2}}{2}. \end{aligned} \right. \] 這組能量形式與質量－彈簧系統相對應： \[ \left\{ \begin{aligned} E_C &= \frac{Q^2}{2C},\\[6pt] E_L &= \frac{L\dot{Q}^{\,2}}{2} \end{aligned} \right. \quad\longleftrightarrow\quad \left\{ \begin{aligned} V &= \frac{1}{2}Kx^2,\\[6pt] T &= \frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2}. \end{aligned} \right. \] 其中，\(x\) 為質量 \(m\) 的位移，\(K\) 為彈簧常數。兩個系統之間的對應關係為： \[ Q\longleftrightarrow x, \qquad L\longleftrightarrow m, \qquad \frac{1}{C}\longleftrightarrow K. \]

定義電感兩端的磁通量變數 \(\Phi\)： \[ \Phi \equiv \int_{0}^{t}V_L\,dt = \int_{0}^{t} L\frac{dI_L}{dt}\,dt = LI_L = L\dot{Q}. \] 因為 LC 電路中的電容與電感具有相同的端電壓， \(V_L=V_C\)，所以： \[ \frac{d\Phi}{dt} = V_L = V_C = \frac{Q}{C}. \] 因此，電荷 \(Q\) 與磁通量變數 \(\Phi\) 之間的關係為： \[ Q=C\dot{\Phi}. \]

將 \(Q=C\dot{\Phi}\) 以及 \(\Phi=L\dot{Q}\) 代入能量表達式，可以得到： \[ \left\{ \begin{aligned} E_C &= \frac{Q^2}{2C} = \frac{C\dot{\Phi}^{\,2}}{2},\\[8pt] E_L &= \frac{L\dot{Q}^{\,2}}{2} = \frac{\Phi^2}{2L}. \end{aligned} \right. \] 因此，以 \(\Phi\) 作為廣義座標時，電容能量扮演動能項，而電感能量扮演位能項。

LC 電路的 Lagrangian \(\mathcal{L}\) 為： \[ \mathcal{L} = E_C-E_L = \frac{C\dot{\Phi}^{\,2}}{2} - \frac{\Phi^2}{2L}. \]

與廣義座標 \(\Phi\) 對應的正則動量 \(\Pi\) 定義為： \[ \Pi \equiv \frac{\partial\mathcal{L}} {\partial\dot{\Phi}} = C\dot{\Phi} = Q. \] 因此，在 LC 電路中，磁通量 \(\Phi\) 的正則共軛動量就是電荷 \(Q\)。

Hamiltonian \(\mathcal{H}\) 由 Legendre transformation 定義為： \[ \mathcal{H} \equiv \Pi\dot{\Phi}-\mathcal{L}. \] 代入 \(\Pi=Q=C\dot{\Phi}\) 後，可以得到： \[ \mathcal{H} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L}. \]

Canonical Quantization

\[ [\hat{\Phi},\hat{Q}] = i\hbar \quad\longleftrightarrow\quad [x,p] = i\hbar. \]



正則座標的選擇 (Optional)

正則動量 \(\Phi_\#\) 定義為： \[ \Phi_\# \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} = \mathcal{L}\dot{Q} \leftrightarrow \dot{Q} = \frac{\Phi_\#}{L}. \] 此處 \(\Phi_\#\) 的單位與磁通量相同，可以視為電感內部的磁通量。Hamiltonian \(H(\Phi_\#, Q)\) 定義為： \[ \mathcal{H} \equiv \Phi_\# \dot{Q} - \mathcal{L} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C}. \]

在量子系統中，正則座標 \(q\) 和正則動量 \(p\) 滿足對易關係： \[ [x, p] = i\hbar. \] 對於本文中的參數，量子化條件為： \[ [Q, \Phi_\#] = i\hbar. \]

本文目前採用 \(\Phi_\#\) 作為記號，這是因為與傳統文章採用的方式相反。傳統文章中，Hamiltonian 對於 \(\Phi_\#\) 與 \(Q\) 的地位是對稱的，定義誰是正則座標、誰是正則動量「似乎」是可以對換的（然而，Lagrangian 中動能和位能是反對稱的）。因此，本文直接反過來，將磁通量的部分作為廣義坐標，記為 \(\Phi\)，而 \(Q\) 作為廣義動量。

在這種情況下，量子化條件變為： \[ [\Phi, Q] = i\hbar, \] 與本文的選擇差一個負號，即： \[ \Phi = -\Phi_\#. \] 這個負號也可以由 Lagrangian 的反對稱性進一步解釋。

有一種說法是因為後續會利用非線性的電感元件:約瑟夫森節（Josephson junction）取代線性電感，此非線性項如果出現在位能項比較好理解。不過，後面在驅動量子位元的時候，也是施加電容電壓來驅動，此時卻反而像驅動動能而不是驅動位能。以計算而言，誰是動能誰是位能是沒有差的。

我們引入新的變量 \(a\)、\(a^\dagger\)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( Q + i\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi_\# \right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( Q - i\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi_\# \right). \] 反之，可以表示為： \[ Q = \sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}} (a^\dagger + a), \quad \Phi_\# = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} (a^\dagger - a). \]

易證 \([a, a^\dagger] = 1\)： \[ [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = \frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}} \left[ Q, \Phi_\# \right] = 1. \] 我們可以利用 \(a\)、\(a^\dagger\) 重寫 Hamiltonian \(H(\Phi_\#, Q)\)： \[ \mathcal{H} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C} = \frac{\hbar \omega}{4} \left[ - (a^\dagger - a)^2 + (a^\dagger + a)^2 \right], \] 其中 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)。 展開後可得： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar \omega}{2} \left[ a^\dagger a + a^\dagger a + 1 \right] = \hbar \omega \left[ a^\dagger a + \frac{1}{2} \right]. \]

最終得到量子化後的 Hamiltonian，每個能階差為 \(\hbar \omega\)。

動能與位能項的互換

正則座標的嚴格定義

實際上，要正確地透過對易關係（commutator relation）進行量子化，需要嚴格規定 \(x, p\) 的對應關係，否則可能會出現負號上的偏差。承接前一節，我們知道： \[ \dot{\Phi}_\# = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} = -\frac{Q}{C} \implies Q = -C\dot{\Phi}_\#. \] 現在，我們將 Lagrangian \(L\) 轉換到動量空間。

定義新的 Lagrangian \(\bar{\mathcal{L}}\) 為： \[ \bar{\mathcal{L}} \equiv \mathcal{L} - \frac{d}{dt} (\Phi_\# Q) = \mathcal{L} - \dot{\Phi}_\# Q - \Phi_\# \dot{Q}, \] 展開後可得： \[ \bar{\mathcal{L}} = \frac{L\dot{Q}^2}{2} - \frac{Q^2}{2C} - \dot{\Phi}_\# Q - \Phi_\# \dot{Q} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} - \frac{C\dot{\Phi}_\#^2}{2} + C\dot{\Phi}_\#^2 - \frac{\Phi_\#^2}{L}, \] 簡化為： \[ \bar{\mathcal{L}} = \frac{C\dot{\Phi}_\#^2}{2} - \frac{\Phi_\#^2}{2L}. \]

注意，此時 \(\mathcal{L}(Q, \dot{Q}) \to \bar{\mathcal{L}}(\Phi_\#, \dot{\Phi}_\#)\)，動能與位能的角色互換。同時，有 \(\bar{\mathcal{L}} = -\mathcal{L}\)，對應於 Lagrangian 的反對稱性。為吸收這一反對稱性，我們定義新的變量： \[ \Phi = -\Phi_\#. \] 這使得： \[ \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi) = \frac{C\dot{\Phi}^2}{2} - \frac{\Phi^2}{2L}. \]

對應的正則動量 \(\Pi\)（並利用前述結果與 \(Q\) 進行聯繫）： \[ \Pi \equiv \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial \dot{\Phi}} = C\dot{\Phi} = -C\dot{\Phi}_\# = Q \implies \dot{\Phi} = \frac{\Pi}{C} = \frac{Q}{C}. \]

Hamiltonian \(\bar{\mathcal{H}}\) 定義為： \[ \bar{\mathcal{H}} = \Pi\dot{\Phi} - \bar{\mathcal{L}} = \frac{\Pi^2}{C} - \frac{\Pi^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L} = \frac{\Pi^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L}, \] 與先前的 \(\mathcal{H}\) 完全一致。此時的量子化條件為： \[ [\Phi, \Pi] = [\Phi, Q] = i\hbar, \] 與傳統條件相同。

定義新的變量 \(a\)、\(a^\dagger\)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( \sqrt{\frac{C}{L}} \Phi + iQ \right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( \sqrt{\frac{C}{L}} \Phi - iQ \right). \] 反之： \[ \Phi = \sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} (a^\dagger + a), \quad Q = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}} (a^\dagger - a). \]

易證 \([a, a^\dagger] = 1\)： \[ [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = \frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}} \left[ \Phi, Q \right] = 1. \] Hamiltonian \(H(\Phi, Q)\) 可改寫為： \[ \mathcal{H} = \frac{\Phi^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C} = \frac{\hbar}{4\sqrt{LC}} \left[ (a^\dagger + a)^2 - (a^\dagger - a)^2 \right]. \] 由於 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)，展開後可得： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar \omega}{4} \left[ (a^\dagger + a)^2 - (a^\dagger - a)^2 \right] = \hbar \omega \left[ a^\dagger a + \frac{1}{2} \right]. \]

最終，我們再次得到量子化後的 Hamiltonian，其中每個能階的差異為 \(\hbar \omega\)。

形式化 Lagrangian 動能與位能的互換

簡化推導步驟

從 \(L(\dot{Q}, Q)\) 出發，基於 Lagrangian 動能與位能的反對稱性，我們定義對應 \(\dot{Q}\) 的正則動量 \(\Phi\) 時手動加入一個負號，以吸收反對稱性（否則後續的 Hamiltonian 會為負）： \[ \Phi \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \implies \dot{\Phi} = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q}. \] 接下來，我們將 Lagrangian 換到 \((\dot{\Phi}, \Phi)\) 空間，即動量空間的 Lagrangian \(\bar{\mathcal{L}}\)： \[ \bar{\mathcal{L}} \equiv \mathcal{L} + \frac{d}{dt} (\Phi Q) = \mathcal{L} + \dot{\Phi} Q + \Phi \dot{Q}. \]

利用微分的方式，可以證明 \(\bar{\mathcal{L}} = \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi)\) 是 \((\dot{\Phi}, \Phi)\) 空間的函數： \[ d\bar{\mathcal{L}} = d\mathcal{L} + d(\dot{\Phi} Q) + d(\Phi \dot{Q}) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} d\dot{Q} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} dQ + Qd\dot{\Phi} + \dot{\Phi}dQ + \dot{Q}d\Phi + \Phi d\dot{Q}. \] 展開後，因為 \(-\Phi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}}\)，我們有： \[ d\bar{\mathcal{L}} = -\Phi d\dot{Q} - \dot{\Phi} dQ + Q d\dot{\Phi} + \dot{\Phi} dQ + \dot{Q} d\Phi + \Phi d\dot{Q} = Q d\dot{\Phi} + \dot{Q} d\Phi. \]

此時，對應 \(\dot{\Phi}\) 的正則動量 \(\Pi\) 為： \[ \Pi = \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial \dot{\Phi}} = Q, \] 即與原來的 \(Q\) 相同。對應的 Hamiltonian \(\bar{\mathcal{H}}\) 定義為： \[ \bar{\mathcal{H}} = \Pi \dot{\Phi} - \bar{\mathcal{L}} = Q\dot{\Phi} - \mathcal{L} - \dot{\Phi} Q - \Phi \dot{Q} = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}. \] 最終形式為： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}. \]

這樣，我們可以簡化後續的推導，只需遵循以下步驟：

  1. 寫下 \(L(\dot{Q}, Q)\)。
  2. 定義 \(\Phi \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}}\)，並得到 \(\dot{Q}\) 與 \(\Phi\) 的關係。
  3. 直接求出對應的 Hamiltonian： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}, \] 並將 \(\dot{Q}\) 代入前述關係式。
  4. 量子化條件： \[ [Q, \Phi] = i\hbar. \]

這樣無需經過繁瑣的轉換 \(L(\dot{Q}, Q) \to \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi) \to \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi)\)。特別是在後續引入外力耦合項時（如在推導如何驅動與讀取量子位元時，外部訊號與量子位元交互作用，或是兩個量子位元之間的耦合），如果按照繁瑣的推導，會出現類似於電磁場下的動量 \(p \to p - eA\) 的情況，在中間轉換時極度複雜。

註：注意到： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q} = -\mathcal{L} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \dot{Q} = H(\Phi, Q). \] \(H(\Phi, Q)\) 就是傳統上熟悉的 Hamiltonian。同時，\(\bar{\mathcal{H}} = H\) 再一次表明了 Hamiltonian 動能與位能的對稱性。



進階主線：Circuit → Lagrangian → Hamiltonian → Spectrum

（W2-C1, W2-D1, W2-D2）對節點磁通 \(\Phi\) 而言，電容網路提供 kinetic term，電感與 Josephson junction 提供 potential term：

\[\mathcal L=\frac12\dot{\Phi}^{T} C\dot{\Phi}-U(\Phi),\qquad Q=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot{\Phi}}\]

Legendre transform 得到 \(H(\Phi, Q)\)，再施加 \([\hat\Phi_i,\hat Q_j]=i\hbar\delta_{ij}\)。線性 LC 電路只產生等距能階；Josephson term

\[U_J(\varphi)=-E_J\cos\varphi,\qquad E_J=\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}\]

才打破 harmonicity，使最低兩能階可以被選擇性控制。進階課需要讓學生實際走完一次「由 schematic 到 Hamiltonian」；只背 transmon 公式不足以判斷寄生 mode、coupling 與 layout 變更的後果。

邊界：本週不深入 BCS microscopic derivation；超導體在這裡主要提供 macroscopic phase、低損耗 wiring 與 Josephson element。微觀材料損耗留到 T6。

課堂整合與驗收

研討問題：由一個含 \(C\)、\(L\)、JJ 的單節點電路寫出 \(\mathcal L\)、canonical charge 與 \(H\)，並指出哪個參數由版圖或製程控制。

完成條件：學生必須留下可檢查的推導、關係圖、比較表或 architecture decision，並能說明其物理假設與工程代價。

核心與延伸閱讀

問題三：為什麼最簡單的人工原子仍然不是 qubit？

50–70 分鐘

量子化的 LC circuit 已經具有離散能階：

\[ \hat H_{LC}=\frac{\hat Q^2}{2C}+\frac{\hat\Phi^2}{2L} =\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\right), \qquad \omega=\frac1{\sqrt{LC}}. \]

先確認：LC circuit 的確已經是量子系統

定義 characteristic impedance \(Z=\sqrt{L/C}\)，可把 flux 與 charge operators 寫成

\[ \hat\Phi=\Phi_{\rm zpf}(\hat a+\hat a^\dagger), \qquad \hat Q=-iQ_{\rm zpf}(\hat a-\hat a^\dagger), \]

\[ \Phi_{\rm zpf}=\sqrt{\frac{\hbar Z}{2}}, \qquad Q_{\rm zpf}=\sqrt{\frac{\hbar}{2Z}}, \qquad \Phi_{\rm zpf}Q_{\rm zpf}=\frac{\hbar}{2}. \]

即使在 ground state，flux 與 charge 仍有 zero-point fluctuation。能量本徵態 \(\ket m\) 也是真正離散的：

\[ E_m=\hbar\omega\left(m+\frac12\right), \qquad m=0,1,2,\ldots \]

所以問題不在於 LC oscillator「不夠量子」。它的問題恰好相反：它是一個太理想的 linear quantum system， 每一階都遵循完全相同的規則。

等間距能譜使所有相鄰 transition 頻率重疊

相鄰能階的 transition frequency 是

\[ \omega_{m,m+1} =\frac{E_{m+1}-E_m}{\hbar} =\omega, \]

因此

\[ \omega_{01}=\omega_{12}=\omega_{23}=\cdots. \]

一個 resonant microwave tone 不只看見 \(\ket0\leftrightarrow\ket1\)，也會看見更高階 transition。 頻率選擇無法告訴系統「只使用最低兩階」。

從 drive Hamiltonian 看見 leakage 為何不可避免

假設以電容耦合的 microwave voltage 驅動 oscillator。忽略不影響主旨的 coupling prefactor，可將控制項寫成

\[ \hat H_d(t) =\hbar\epsilon(t)(\hat a+\hat a^\dagger). \]

相鄰能階的 matrix element 為

\[ \langle m+1|\hat a+\hat a^\dagger|m\rangle =\sqrt{m+1}. \]

drive 一開始把 \(\ket0\) 推向 \(\ket1\)；一旦 \(\ket1\) 有 population，同一個頻率又正好 resonant 地驅動 \(\ket1\rightarrow\ket2\)，而且 matrix element 是 \(\sqrt2\) 倍。再往上依此類推。 因此 \(\{\ket0,\ket1\}\) 並不是在這個控制下封閉的 invariant subspace。

更強的說法：linear drive 產生 coherent state，不會產生純 \(\ket1\)

在 rotating-wave approximation 下，受驅 harmonic oscillator 可寫成

\[ \hat H_{\rm rot}(t) =\hbar\bigl[\epsilon(t)\hat a^\dagger+\epsilon^*(t)\hat a\bigr]. \]

若初態是 vacuum，任何這類 linear pulse 最後只會做 displacement：

\[ \ket0\longrightarrow\hat D(\alpha)\ket0=\ket\alpha, \qquad P_m=e^{-|\alpha|^2}\frac{|\alpha|^{2m}}{m!}. \]

想讓 \(P_1\) 最大時需取 \(|\alpha|^2=1\)，但此時 \(P_1^{\rm max}=e^{-1}\approx0.368\)，其餘 population 仍分散在 \(\ket0,\ket2,\ldots\)。 換句話說，對 bare harmonic oscillator 做一個傳統 qubit「\(\pi\)-pulse」並不能把 \(\ket0\) 確定地翻到 \(\ket1\)。

qubit 還需要 spectral addressability

定義 anharmonicity

\[ \alpha\equiv\omega_{12}-\omega_{01}. \]

harmonic oscillator 有 \(\alpha=0\)。若引入 nonlinearity 使 \(\alpha\neq0\)，drive frequency 才能以 \(\omega_{01}\) 選中 computational transition，同時對 \(\omega_{12}\) 保持 off-resonant。對簡單 pulse， 通常希望

\[ |\alpha|\gg\Omega_R,\;\kappa,\;\gamma_\phi, \]

其中 \(\Omega_R\) 是 Rabi rate。drive 太快時頻寬變寬，leakage amplitude 通常按 \(\Omega_R/|\alpha|\) 的量級增加；drive 太慢又會累積 decoherence。這就是之後 pulse shaping 與 DRAG control 所處理的 speed–leakage trade-off。

精確說法：harmonic oscillator 不是不能承載量子資訊；利用多個 Fock states、cat states 或其他 bosonic encoding，仍可把 oscillator 當作 logical qubit。但若只允許一般 linear microwave control， bare LC oscillator 不能自然提供一個可獨立操作的最低兩能階 qubit。

課堂任務：畫出 harmonic 與 anharmonic spectrum，標示同一頻率的 drive 會連接哪些 transition。

問題三結論：「能階離散」只保證系統是量子的；「能階不等距」才讓 \(\ket0\leftrightarrow\ket1\) 能被頻率選擇，並把 leakage 壓到可控制的程度。

2.2 Why Nonlinearity Is Necessary

若量子電路的能階為等間距，則從 \(\ket{0}\) 到 \(\ket{1}\) 的頻率與 從 \(\ket{1}\) 到 \(\ket{2}\) 的頻率相同。 這會導致微波控制無法只針對 qubit 子空間 \(\ket{0}, \ket{1}\)， 而容易激發到更高能階。

Josephson junction 提供了超導量子電路所需的非線性電感。 透過這個非線性，超導電路可以形成不等間距能階，使最低兩個能階能夠被用作量子位元。

4.1 From LC Circuit to Quantum LC Oscillator

在古典電路中，LC 振盪器的能量在電容與電感之間交換。 電容儲存電場能，電感儲存磁場能。 若將 LC 振盪器量子化，會得到等間距能階：

\[ E_m = \hbar\omega\left(m + \frac{1}{2}\right) \]

這樣的 harmonic oscillator 並不適合作為 qubit，因為相鄰能階間距相同， 控制脈衝無法只選擇 \(\ket{0} \leftrightarrow \ket{1}\) transition。

問題四：Josephson junction 如何塑造人工原子的能階？

70–95 分鐘

Josephson tunneling 提供不耗散、由 phase 控制的非線性元件：

\[ I=I_c\sin\varphi, \qquad V=\frac{\Phi_0}{2\pi}\dot\varphi, \qquad U_J(\varphi)=-E_J\cos\varphi. \]

Josephson energy 不是另外假設的：它可由兩條 Josephson relations 積分得到

理想 junction 的 supercurrent branch 滿足 \(I=I_c\sin\varphi\)，phase 隨 voltage 的演化則滿足 \(V=(\Phi_0/2\pi)\dot\varphi\)。流入元件的瞬時功率為

\[ P=IV =I_c\sin\varphi\, \frac{\Phi_0}{2\pi}\dot\varphi. \]

若這份功率儲存在 junction potential 中，則

\[ \frac{dU_J}{dt} =\frac{dU_J}{d\varphi}\dot\varphi =\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}\sin\varphi\,\dot\varphi. \]

因而

\[ \frac{dU_J}{d\varphi}=E_J\sin\varphi, \qquad E_J\equiv\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} =\frac{\hbar I_c}{2e}, \]

積分後得到

\[ U_J(\varphi)=-E_J\cos\varphi+\text{constant}. \]

所謂「Josephson junction 提供 cosine potential」，因此不是把電路硬套進某個原子模型，而是從可量測的 current–phase relation 直接導出的 energy landscape。

它像電感，但不是線性電感

對線性電感，\(I=\Phi/L\)，所以 potential 永遠是 quadratic。對 junction， \(\dot I=I_c\cos\varphi\,\dot\varphi\)。比較 \(V=L_J\dot I\) 可得 differential inductance

\[ L_J(\varphi) =\frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\varphi}. \]

\(L_J\) 隨 phase 改變，這就是 nonlinearity 的電路語言。小振幅且 \(\varphi\approx0\) 時， \(L_J(0)=\Phi_0/(2\pi I_c)\)，junction 看起來近似線性；振幅增大後，\(\cos\varphi\) 的變化便不能忽略。 理想 Josephson supercurrent 同時又是不耗散的，這使 junction 能在低損耗電路中提供一般 resistor 或 semiconductor diode 難以兼得的強 nonlinearity。實際元件仍有 junction capacitance、quasiparticle loss 與材料缺陷，不能把「理想不耗散」誤解為完全沒有 loss。

加入 capacitance 後，phase 變成在 cosine potential 中運動的量子座標

將 junction 與總電容 \(C_\Sigma\) 合在一起，charging energy 定義為

\[ E_C\equiv\frac{e^2}{2C_\Sigma}. \]

Hamiltonian 成為

\[ \hat H =4E_C(\hat n-n_g)^2-E_J\cos\hat\varphi. \]

在「量子粒子」圖像中，\(\varphi\) 是 position，\(n\) 是 momentum；\(E_C\) 決定 kinetic-energy scale， \(E_J\) 則決定 periodic potential 的深度。改變 junction critical current 會改變 \(E_J\)，改變 shunt capacitance 會改變 \(E_C\)，所以這顆人工原子的「質量、束縛強度與能譜」都能由電路設計。

cosine 的 higher-order terms 破壞等間距

在線性化近似中只保留 potential minimum 附近的 quadratic term：

\[ -E_J\cos\varphi =-E_J+\frac{E_J}{2}\varphi^2 -\frac{E_J}{24}\varphi^4 +\frac{E_J}{720}\varphi^6-\cdots. \]

線性電感的 quadratic potential 只能產生 harmonic spectrum；Josephson junction 的 cosine potential 則提供 nonlinear inductance。 展開 cosine 時，quadratic term 建立主要振盪頻率，higher-order terms 破壞等間距，產生可供選擇控制的 anharmonic spectrum。

先把 quadratic part 當作 harmonic oscillator：

\[ \hat H_0 =4E_C\hat n^2+\frac{E_J}{2}\hat\varphi^2-E_J, \qquad \hbar\omega_p=\sqrt{8E_JE_C}. \]

對應的 zero-point amplitudes 可取為

\[ \hat\varphi=\varphi_{\rm zpf}(\hat a+\hat a^\dagger), \qquad \hat n=i n_{\rm zpf}(\hat a^\dagger-\hat a), \]

\[ \varphi_{\rm zpf} =\left(\frac{2E_C}{E_J}\right)^{1/4}, \qquad n_{\rm zpf} =\left(\frac{E_J}{32E_C}\right)^{1/4}, \qquad \varphi_{\rm zpf}n_{\rm zpf}=\frac12. \]

現在把 quartic term \(-E_J\hat\varphi^4/24\) 當作一階 perturbation。因為

\[ \langle m|(\hat a+\hat a^\dagger)^4|m\rangle =6m^2+6m+3, \]

得到低能階近似

\[ E_m\approx -E_J+\sqrt{8E_JE_C}\left(m+\frac12\right) -\frac{E_C}{12}(6m^2+6m+3). \]

因此相鄰 transition 不再等頻：

\[ \hbar\omega_{m,m+1} \approx\sqrt{8E_JE_C}-E_C(m+1), \]

\[ \hbar\omega_{01}\approx\sqrt{8E_JE_C}-E_C, \qquad \hbar\omega_{12}\approx\sqrt{8E_JE_C}-2E_C, \]

\[ \alpha\equiv\omega_{12}-\omega_{01} \approx-\frac{E_C}{\hbar}. \]

負號表示能階越高，相鄰間距越小。這個結果來自 cosine 的 negative quartic correction； 它正是讓 \(\omega_{01}\) drive 對 \(\omega_{12}\) 失諧、使最低兩階得以被選擇控制的來源。

同一個 cosine 在兩種 basis 中提供兩種直覺

  • phase basis：\(-E_J\cos\varphi\) 是 periodic wells；\(E_J/E_C\) 越大，低能 wavefunction 越集中在某個 minimum 附近。
  • charge basis：\(-E_J\cos\hat\varphi\) 連接 \(\ket n\) 與 \(\ket{n\pm1}\)，使原本交叉的 charge-state energies 形成 avoided crossings。

問題四結論：Josephson junction 不是單純「再加一個電感」，而是把 quadratic potential 換成可由 \(E_J\) 設計的 cosine potential。quadratic part 決定主要頻率，quartic 與更高階項則製造 anharmonicity；人工原子的可控制能譜由此產生。

3.3 Josephson Junction

Josephson junction 是由兩個超導體中間夾著一層極薄絕緣層所構成的結構， 通常記為 SIS junction，也就是 superconductor-insulator-superconductor。 雖然中間是絕緣層，Cooper pairs 仍然可以透過量子穿隧效應通過 junction， 形成 Josephson current。

Josephson Relations

Josephson junction 的電流與相位差之間具有非線性關係：

\[ I = I_c \sin\varphi \]

當 junction 兩端存在電壓 \(V\) 時，相位差會隨時間演化：

\[ V = \frac{\Phi_0}{2\pi}\frac{d\varphi}{dt} \]

其中 \(\Phi_0 = h/2e\) 是超導磁通量量子。 Josephson energy 可寫為：

\[ E_J = \frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} \]

3.4 Josephson Junction as a Nonlinear Inductor

Josephson junction 的關鍵價值在於它提供非線性電感。 一般線性電感的能量與相位近似呈二次關係； Josephson junction 的能量則為：

\[ U_J(\varphi) = -E_J \cos\varphi \]

這個 cosine potential 使得電路能階不再等間距， 因此能從量子振盪器中選出最低兩個能階作為 qubit。

核心觀念

沒有 Josephson junction，超導 LC 電路只是近似 harmonic oscillator； 有了 Josephson junction，電路才具有足夠非線性，可以形成可選址的量子二能階系統。

學習檢核

  1. Josephson junction 為什麼能讓 Cooper pairs 穿過絕緣層？
  2. Josephson current 與相位差之間的關係是什麼？
  3. 為什麼 Josephson junction 可被視為 nonlinear inductor？

約瑟夫森節的非線性電感性質

非線性使得精確控制量子位元成為可能

約瑟夫森接面的量子描述

▲描述一個約瑟夫森接面，其材料的內秉性質由 \(H_0\) 描述。在接面兩端施加電壓 \(V\)，超導波函數之間的交互作用以 \(K\) 表示，其運動方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} H_0 - \frac{qV}{2} & K \\ K & H_0 + \frac{qV}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix}. \] 當 \(q = -2e\)（古柏對）時，方程變為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} H_0 + eV & K \\ K & H_0 - eV \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix}. \]

\(\theta_A, n_A \)完整推導過程

第一條方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A} e^{i\theta_A}) = \frac{i}{2} \frac{e^{i\theta_A}}{\sqrt{n_A}} \frac{\partial n_A}{\partial t} - \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV) \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} + K\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}. \] 將實部與虛部分離後得到： \[ \frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} - n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV)n_A + K\sqrt{n_A n_B} e^{i(\theta_B - \theta_A)}. \] 其共軛方程為： \[ -\frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} - n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV)n_A + K\sqrt{n_A n_B} e^{-i(\theta_B - \theta_A)}. \]

將兩式相加可得： \[ -2n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = 2(H_0 + eV)n_A + 2K\sqrt{n_A n_B} \cos(\theta_B - \theta_A), \] 整理得到 \(\theta_A\) 的方程： \[ \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = -(H_0 + eV) - K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
將兩式相減可得： \[ i\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2iK\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A), \] 即： \[ \hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]
\(\theta_B, n_B \)完整推導過程

第二條方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}) = \frac{i}{2} \frac{e^{i\theta_B}}{\sqrt{n_B}} \frac{\partial n_B}{\partial t} - \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A} e^{i\theta_A} + (H_0 - eV)\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}. \] 拆分後為： \[ \frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} - n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A n_B} e^{-i(\theta_B - \theta_A)} + (H_0 - eV)n_B. \] 其共軛方程為： \[ -\frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} - n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A n_B} e^{i(\theta_B - \theta_A)} + (H_0 - eV)n_B. \]

將兩式相加可得： \[ -2n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \cos(\theta_B - \theta_A) + 2(H_0 - eV)n_B, \] 整理得到 \(\theta_B\) 的方程： \[ \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = -(H_0 - eV) - K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
將兩式相減可得： \[ i\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2iK\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A), \] 即： \[ \hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]

整理得出以下方程：

  • 對於 \(\theta_A\)： \[ \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = -(H_0 + eV) - K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
  • 對於 \(\theta_B\)： \[ \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = -(H_0 - eV) - K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
  • 對於 \(n_A\)： \[ \hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]
  • 對於 \(n_B\)： \[ \hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]

定義相位差 \(\Delta \theta = \theta_B - \theta_A\)，並將前兩個方程相減，可得： \[ \hbar \frac{\partial \Delta \theta}{\partial t} = 2eV + \frac{K}{\hbar} \left( \frac{n_B - n_A}{\sqrt{n_A n_B}} \right) \cos\Delta \theta. \] 將後兩條方程結合並定義電流 \(I\) 為： \[ -\frac{\partial n_A}{\partial t} = \frac{\partial n_B}{\partial t} \equiv \frac{I}{-2e}. \] 整理得到： \[ I = \frac{4eK}{\hbar} \sqrt{n_A n_B} \sin\Delta \theta \equiv I_c \sin\Delta \theta, \] 其中 \(I_c\) 為該約瑟夫森接面的臨界電流。

定義約瑟夫森接面的非線性電感： \[ L_J(\Delta \theta) = \left(\frac{2e}{\hbar I_c \cos\Delta \theta}\right). \] 電感儲存的能量為： \[ E = \int IV dt = \int I_0 \sin\Delta \theta \cdot \frac{\hbar}{q} \frac{\partial \Delta \theta}{\partial t} dt = -\frac{I_0 \hbar}{2e} \cos\Delta \theta \equiv -\frac{I_0 \Phi_0}{2\pi} \cos\Delta \theta, \] 其中，磁通量子 \(\Phi_0 = \frac{2\pi\hbar}{2e}\)，並定義： \[ E_J = \frac{I_0 \Phi_0}{2\pi}. \]

▲從線性的\(LC\)電路，變成以約瑟夫森節的非線性電感組合出的非線性\(LC\)電路。\(L_J\)為約瑟夫森節的電感值。

4.2 Nonlinear LC Circuit

Transmon 可以被理解為一個 nonlinear LC oscillator。 它以 Josephson junction 取代一般線性電感，並加入較大的 shunt capacitance。 Josephson junction 提供非線性，shunt capacitor 則降低 charging energy， 使 qubit 對 offset charge noise 不敏感。

Transmon 的基本電路包含：

  • 一個 Josephson junction 或 SQUID loop。
  • 一個大型 shunt capacitor。
  • 與微波控制線、讀出共振腔或耦合器之間的電容耦合。

問題五：為什麼人工原子最後設計成 Transmon？

95–115 分鐘

\[ \hat H_{\mathrm T}=4E_C(\hat n-n_g)^2-E_J\cos\hat\varphi. \]

Charge qubit 對 offset charge \(n_g\) 很敏感。Transmon 透過增加 shunt capacitance 降低 \(E_C\)，提高 \(E_J/E_C\)，使能量對 \(n_g\) 的 charge dispersion 指數受到壓低；代價是 anharmonicity 的絕對值減小， control selectivity 與 gate speed 之間必須重新取捨。

先看原始 charge qubit 的問題出在哪裡

在 charge basis 中，若先令 \(E_J=0\)，每個整數 Cooper-pair number \(n\) 都對應一條 charging parabola：

\[ E_n(n_g)=4E_C(n-n_g)^2. \]

\(n_g\) 由 gate voltage、背景 trapped charge 與環境中的 offset-charge fluctuation 決定。 在 \(n_g=1/2\) 附近，只保留 \(\ket{n=0}\) 與 \(\ket{n=1}\) 時， Josephson tunneling 給出近似矩陣

\[ \hat H_{\{0,1\}} \approx \begin{pmatrix} 4E_Cn_g^2 & -E_J/2\\ -E_J/2 & 4E_C(1-n_g)^2 \end{pmatrix}. \]

因而兩能階 splitting 約為

\[ \hbar\omega_{01} \approx\sqrt{\bigl[4E_C(1-2n_g)\bigr]^2+E_J^2}. \]

在 \(n_g=1/2\) 正好有 charge sweet spot， \(\partial\omega_{01}/\partial n_g=0\)；但只要工作點漂離 sweet spot，frequency 就會快速改變。 若背景 charge 發生跳動，qubit frequency 也跟著跳動。只靠精確 bias 在一個點上，並不是穩健的硬體保護。

Transmon 的硬體動作很簡單：把電容做大

對總電容 \(C_\Sigma\)，

\[ E_C=\frac{e^2}{2C_\Sigma}. \]

加入大型 shunt capacitor 使 \(C_\Sigma\) 增加、\(E_C\) 降低，而 junction critical current 仍可獨立設定 \(E_J\)。 因此 \(E_J/E_C\) 可以由 charge-qubit regime 推向 \(E_J/E_C\gg1\) 的 transmon regime。 這不是換了一個 Hamiltonian，而是把同一個 Hamiltonian 移到另一個參數區。

在 phase picture 中，較大的 \(E_J/E_C\) 使 low-energy wavefunctions 集中在 cosine minimum 附近； 相鄰 wells 之間的 quantum phase slip amplitude 變小。offset charge \(n_g\) 在這個圖像中扮演 periodic potential 的 boundary phase，而 energy 對 \(n_g\) 的依賴正是由 inter-well tunneling 造成。 barrier 相對變高後，energy band 對 \(n_g\) 變平。

關鍵不只是「變小」，而是 charge dispersion 指數變小

在 \(E_J/E_C\gg1\) 的漸近區，能階對 offset charge 的主要依賴可寫成

\[ E_m(n_g)\approx\bar E_m -\frac{\epsilon_m}{2}\cos(2\pi n_g), \]

其中 charge-dispersion amplitude 的主導尺度為

\[ \epsilon_m \propto E_C\, \exp\!\left[-\sqrt{8E_J/E_C}\right] \times \text{algebraic prefactor}. \]

因而提高 \(E_J/E_C\) 時， \(\partial\omega_{01}/\partial n_g\) 不只是按 \(1/(E_J/E_C)\) 緩慢下降，而是得到 exponential suppression。 Transmon 的價值就在這個不對稱交換：用相對溫和的參數改動，換到非常強的 charge-noise dephasing suppression。

但 nonlinearity 沒有免費保留

問題四已得到

\[ \hbar\omega_{01}\approx\sqrt{8E_JE_C}-E_C, \qquad \alpha\equiv\omega_{12}-\omega_{01} \approx-\frac{E_C}{\hbar}. \]

shunt capacitance 使 \(E_C\) 下降，因此 \(|\alpha|\) 也近似線性下降。所幸 charge dispersion 是 exponential suppression，而 anharmonicity 只按 \(E_C\) 線性減小；於是存在一段實用的參數窗： charge noise 已經很弱，但 \(\omega_{01}\) 與 \(\omega_{12}\) 仍分得開。

對指定的 transition frequency 與 anharmonicity，這兩個近似式也可反過來作 first-pass design：

\[ \frac{E_C}{h}\approx\frac{|\alpha|}{2\pi}, \qquad \frac{E_J}{E_C} \approx\frac18 \left(\frac{hf_{01}+E_C}{E_C}\right)^2. \]

實際設計仍需 numerical diagonalization、junction fabrication model 與 electromagnetic simulation， 但這兩式已能顯示 pad capacitance、junction critical current、frequency 與 leakage 之間的方向關係。

保護沒有把控制一起關掉

capacitive microwave drive 主要透過 \(\hat n\) 耦合。在 harmonic approximation 中

\[ |\langle0|\hat n|1\rangle| \approx \left(\frac{E_J}{32E_C}\right)^{1/4}\neq0. \]

所以 \(E_J/E_C\) 增大時，charge dispersion 被壓低，但 \(0\leftrightarrow1\) electric-dipole matrix element 並沒有一起消失。這讓 transmon 同時保留成熟的 microwave drive 與 dispersive readout。 反面是：同一個非零 matrix element 也表示 transmon 並沒有自動免疫所有 high-frequency electric noise； 它主要解決的是低頻 offset-charge dephasing，而不是全面的 relaxation protection。

fixed-frequency 與 tunable transmon 是下一層交換

單一 junction 給 fixed \(E_J\)，結構較簡單，也沒有額外 flux-noise channel；代價是 fabrication variation 直接變成 frequency spread，可能造成 frequency collision。若用對稱 dc SQUID 取代單一 junction，則

\[ E_{J,\mathrm{eff}}(\Phi_{\rm ext}) =2E_{J0} \left|\cos\!\left(\pi\frac{\Phi_{\rm ext}}{\Phi_0}\right)\right|, \]

qubit frequency 因而可調，可避開 collision 或執行 flux-mediated gate；但離開 flux sweet spot 後， \(\partial\omega_{01}/\partial\Phi_{\rm ext}\neq0\)，flux noise、control-line crosstalk 與 calibration 負擔也隨之增加。

用四項設計判準重新看 Transmon

  • Dephasing protection：\(\partial\omega_{01}/\partial n_g\) 因 charge dispersion 而受到 exponential suppression。
  • Relaxation protection：不具一般性的 \(\langle0|\hat O_{\rm noise}|1\rangle\approx0\)；材料 loss、Purcell loss 與高頻 electric noise 仍須另外工程化。
  • Controllability：\(\langle0|\hat n|1\rangle\neq0\)，保留有效的 microwave control 與 readout coupling。
  • Leakage suppression：\(\Delta_{\rm leakage}\sim\hbar|\alpha|\) 有限；必須在 gate speed、pulse shaping 與剩餘 anharmonicity 間取捨。
  • 得到：較低 charge dispersion、成熟的 microwave control、可設計的頻率範圍。
  • 付出：較弱 anharmonicity、可能的 leakage、fixed／tunable design 的不同 noise 與 calibration 負擔。
  • 設計觀念：Transmon 不是「最好的人造原子」，而是一組在 noise sensitivity、control 與製造可行性之間成功的參數選擇。

本週結論：具有離散能階還不等於 qubit；必須利用 Josephson nonlinearity 製造可選擇控制的能譜， 再利用 \(E_J/E_C\) 調整 charge sensitivity 與 anharmonicity 的交換。Transmon 之所以成為主流，不是因為它把所有 noise 都消除，而是因為它利用 exponential-versus-linear scaling 找到一個特別有效、又仍可控制與製造的 Pareto point。

既有推導與延伸教材

Transmon的性質

當前主流的超導量子位元

Ref: DOI:10.48550/arXiv.2203.04164

單元 4：Transmon Qubit

4.3 Transmon Hamiltonian

Transmon Hamiltonian 可寫為：

\[ \hat{H}_{\mathrm{transmon}} = 4E_C(\hat{n} - n_g)^2 - E_J\cos\hat{\varphi} \]

其中：

  • \(\hat{n}\)：Cooper pair number operator。
  • \(\hat{\varphi}\)：Josephson junction 兩端的超導相位差。
  • \(n_g\)：offset charge，代表環境電荷雜訊或 gate-induced charge。
  • \(E_C = e^2 / 2C_\Sigma\)：charging energy，由總電容 \(C_\Sigma\) 決定。
  • \(E_J = \Phi_0 I_c / 2\pi\)：Josephson energy，由 junction critical current 決定。

Transmon 的重要設計條件是：

\[ \frac{E_J}{E_C} \gg 1 \]

在這個 regime 中，能階對 offset charge \(n_g\) 的敏感度會被大幅壓低， 但仍保留足夠的 anharmonicity，使最低兩個能階可以作為 qubit 使用。

4.4 Energy Spectrum and Anharmonicity

在 \(E_J/E_C \gg 1\) 的近似下，Transmon 的最低能階可近似為弱非諧振盪器。 其 \(\ket{0} \rightarrow \ket{1}\) transition frequency 約為：

\[ \omega_{01} \approx \frac{\sqrt{8E_JE_C} - E_C}{\hbar} \]

Transmon 的 anharmonicity 約為：

\[ \alpha = \omega_{12} - \omega_{01} \approx -\frac{E_C}{\hbar} \]

Anharmonicity 是量子閘控制中的重要參數。 若 \(|\alpha|\) 太小，微波脈衝容易造成 leakage 到 \(\ket{2}\)； 若 \(|\alpha|\) 太大，通常代表 \(E_C\) 較大，可能提高對 charge noise 的敏感度。 因此 Transmon 設計需要在 charge-noise protection 與 control selectivity 之間取得平衡。

4.5 Design of \(E_C\) and \(E_J\)

Transmon 的設計核心在於選擇合適的 \(E_C\)、\(E_J\) 與 \(E_J/E_C\)。 這些參數分別由晶片幾何、材料與 Josephson junction 製程決定。

參數 定義 由什麼決定 設計影響
\(E_C\) \(e^2/2C_\Sigma\) 總電容、pad 面積、耦合電容、封裝環境 決定 anharmonicity 與 charge-noise sensitivity
\(E_J\) \(\Phi_0 I_c/2\pi\) Josephson junction 面積、氧化層厚度、臨界電流密度 決定 qubit frequency 與 potential depth
\(E_J/E_C\) Josephson energy 與 charging energy 比值 junction 與 capacitor 的共同設計 控制 charge dispersion 與 anharmonicity 的 trade-off

4.6 Fixed-Frequency and Tunable Transmon

Transmon 可以分為 fixed-frequency transmon 與 tunable transmon。 Fixed-frequency transmon 使用單一 Josephson junction，頻率在製作後大致固定。 Tunable transmon 則使用 SQUID loop 取代單一 junction，使有效 Josephson energy 可由外加磁通量調控。

\[ E_J(\Phi_{\mathrm{ext}}) \approx E_{J,\mathrm{max}} \left| \cos\left(\pi\frac{\Phi_{\mathrm{ext}}}{\Phi_0}\right) \right| \]

Tunable transmon 提供更高的控制彈性，可用於頻率調諧、兩量子位元閘與避免 frequency collision； 但同時也會增加對 flux noise 的敏感度。

設計直覺

Transmon 的成功來自一個簡潔但深刻的設計策略： 用較大的電容降低 \(E_C\)，犧牲部分 anharmonicity， 換取對電荷雜訊的指數級保護。

學習檢核

  1. 為什麼單純的量子 LC oscillator 不適合作為 qubit？
  2. Josephson junction 在 Transmon 中扮演什麼角色？
  3. 為什麼 Transmon 需要設計在 \(E_J/E_C \gg 1\) 的區域？
  4. \(E_C\) 太大或太小分別會造成什麼問題？
  5. Fixed-frequency Transmon 與 Tunable Transmon 的優缺點為何？

進階主線：設計不是把 \(E_J/E_C\) 做得越大越好

\[H=4E_C(\hat n-n_g)^2-E_J\cos\hat\varphi\]

在 \(E_J/E_C\gg1\) 的 transmon regime，低能階近似

\[\hbar\omega_{01}\approx\sqrt{8E_JE_C}-E_C,\qquad \alpha\equiv\omega_{12}-\omega_{01}\approx-\frac{E_C}{\hbar}\]

charge dispersion 隨 \(\exp[-\sqrt{8E_J/E_C}]\)（帶有能階依賴的代數前因子）指數下降，但 anharmonicity 只以較慢尺度下降。這是 transmon 成功的核心；代價是 pulse selectivity、leakage、frequency crowding 與 fabrication spread 必須一起設計。

固定頻率 transmon 減少 flux-noise sensitivity；SQUID transmon 提供可調頻率與 gate mechanism，卻引入 flux line、sweet spot 與 drift 問題。真正的設計問題是 noise、control、coupling、yield 與 calibration 的聯立最佳化。

雙約瑟夫森節（SQUID）的非線性電感性質

頻率可調式量子位元

將兩組約瑟夫森節 \(J_1\)、\(J_2\) 相組，中間形成一個閉環，通入磁通 \( \Phi_B \) 與電壓 \( V \)。在前一節中，超導函數的相位對閉環的積分需滿足： \[ \oint \nabla \theta(r) \cdot d\vec{l} - \frac{q}{\hbar} \Phi_B = 2\pi N \] 因為在接面不連續會貢獻 \( \Delta\theta_1 \)、\( \Delta\theta_2 \)，\( q = -2e \)，帶入得： \[ \Delta\theta_2 - \Delta\theta_1 + 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0} = 2\pi N \] \[ \Delta\theta_2 = \Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0} + 2\pi N \]

當整個 SQUID 通入電流 \( I = I_1 + I_2 \)，並使用前一節約瑟夫森節電流的關係式（這裡考慮對稱的 SQUID，即兩個約瑟夫森節的特性 \( I_c \) 相同），計算得： \[ I = I_1 + I_2 = I_0 (\sin\Delta\theta_1 + \sin\Delta\theta_2) \] \[ I = I_0 \left[\sin\Delta\theta_1 + \sin\left(\Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0} + 2\pi N\right)\right] \] \[ I = I_0 \left[\sin\Delta\theta_1 + \sin\left(\Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0}\right)\right] \] 利用三角恆等式化簡： \[ I = I_0 \left[2 \sin\left(\frac{\Delta\theta_1 + \Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0}}{2}\right) \cos\left(\frac{\Delta\theta_1 - \Delta\theta_1 + 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0}}{2}\right)\right] \] \[ I = 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \sin\left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \]

前一節提到約瑟夫森節具有電感的性質，同理我們可以討論 SQUID 的電感性質。將電流對時間微分： \[ \dot{I} = 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \cos\left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \dot{\Delta\theta_1} \] 而 \( \dot{\Delta\theta_1} \) 與電壓 \( V \) 的關係為： \[ V = \frac{\hbar}{2e} \dot{\Delta\theta_1} = \frac{\Phi_0}{2\pi} \dot{\Delta\theta_1} \] 帶入後可得電感值： \[ L_{\text{SQUID}}(\Delta\theta_1, \Phi_B) = \left[\frac{2\pi}{\Phi_0} \cdot 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \cos\left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right)\right] \]

可以注意到 \( L_{\text{SQUID}} \) 的值會受到外加磁通 \( \Phi_B \) 的影響，這為後來 Tunable Transmon 調整頻率的關鍵。定義變數 \( \Phi \)： \[ \Phi \equiv \frac{\Delta\theta_1}{\pi} \Phi_0 - \Phi_B = \frac{\Phi_0}{\pi} \left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) \] 並有： \[ \dot{\Phi} = \frac{\Phi_0}{\pi} \dot{\Delta\theta_1} \] 電壓 \( V \) 和電流 \( I \) 分別為： \[ V = \frac{1}{2} \dot{\Phi}, \quad I = 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \sin\left(\frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) \]

固定外場 \( \Phi_B \) 下，一組 SQUID 儲存的能量為： \[ E = \int IV \, dt = \int \left[2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \sin\left(\frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) \cdot \frac{1}{2} \dot{\Phi}\right] dt \] 化簡得： \[ E = I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \int \sin\left(\frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) d\Phi \] \[ E = -\frac{I_0 \Phi_0}{\pi} \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \cos\left(\frac{\pi}{\Phi_0} \Phi\right) \]

Tunable Transmon

可調頻率的Transmon

▲由兩個約瑟夫森節組合成可調電感值的\(LC\)電路。

前文提及約瑟夫森節具有電感性質，Transmon即是LC電路中的電感替換成約瑟夫森節。本節直接討論 Tunable Transmon，採用 SQUID 當作電感。實務上因為材料製作的不均一性，不同 Transmon 會有不一樣的特性，如果採用 Tunable Transmon，可以透過微調磁通量 \( \Phi_B \) 的方式使 Qubit 性質一致。此外，我們在前面量子化 LC 電路時，\([ \Phi, Q ] = i\hbar\) 是一對正則變量，利用 SQUID 的推導可以很自然地將磁通量 \( \Phi \) 與相位差 \( \Delta\theta \) 做聯繫，即： \[ \Phi \equiv \frac{\Delta\theta_1}{\pi} \Phi_0 - \Phi_B \]

現在我們寫下 Hamiltonian： \[ \mathcal{H} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi_\#^2}{2L} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{(I_0 \pi)}{2\Phi_0} \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \Phi^2 - \frac{I_0}{24} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^3 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \Phi^4 + \cdots \] \[ = \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L} - \frac{1}{24L} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 \Phi^4 + \cdots \] 其中： \[ L = \left(\frac{I_0 \pi}{\Phi_0} \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right)\right)^{-1} \]

現在我們要討論非線性對於能階的改變，前文我們選擇新的變量 \( a \)、\( a^\dagger \)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{ \frac{L}{C}}} \left(\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi + iQ\right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{ \frac{L}{C}}} \left(\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi - iQ\right) \] 反之： \[ \Phi = \sqrt{\frac{\hbar}{2 }\sqrt{ \frac{L}{C}}} (a^\dagger + a), \quad Q = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{ \frac{C}{L}}} (a^\dagger - a) \]

將 Hamiltonian 表達式展開為： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} \left[a^\dagger a + \frac{1}{2}\right] - \frac{1}{24L} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 \left[i \sqrt{\frac{\hbar}{2\sqrt{L/C}}} (a^\dagger + a)\right]^4 \] 化簡後： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} \left[a^\dagger a + \frac{1}{2}\right] - \frac{\hbar^2}{96C} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 (a^\dagger + a)^4 \] 該表達式包含線性和非線性項，線性項描述的是量子簡諧振子的能階，而非線性項源自於 Josephson 節對於能階的修正。

利用微擾理論，當 \( \mathcal{H} = H_0 + \Delta H \)， \( \ket{E_0^m} \to \ket{E^m} \)、 \( E_0^m \to E^m = E_0^m + \delta E^m \)，我們知道對能階 \( E_0^m \) 的修正 \( \delta E^m \) 為：

\[ \delta E^m = \langle E_0^m | \Delta H | E_0^m \rangle = \langle E_0^m | \left[-\frac{\hbar^2}{96C} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 (a^\dagger + a)^4\right] | E_0^m \rangle \]

計算如下：

\[ \langle E_0^m | (a^\dagger + a)^4 | E_0^m \rangle = \langle E_0^m | (aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger)^2 | E_0^m \rangle \]

展開為：

\[ \langle E_0^m | aa(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) + aa^\dagger(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) + a^\dagger a(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) + a^\dagger a^\dagger(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) \ket{ E_0^m } \]

因為取期望值，只會留下 \( a, a^\dagger \) 次數相等的項，剩下：

\[ \langle E_0^m | aaa^\dagger a^\dagger + aa^\dagger aa^\dagger + aa^\dagger a^\dagger a + a^\dagger aaa^\dagger + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a^\dagger aa | E_0^m \rangle \]

繼續簡化：

\[ \langle E_0^m | a(a^\dagger a + 1)a^\dagger + aa^\dagger aa^\dagger + (a^\dagger a + 1)a^\dagger a + a^\dagger a(a^\dagger a + 1) + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger (aa^\dagger - 1)a | E_0^m \rangle \]

再整理為：

\[ \langle E_0^m | aa^\dagger aa^\dagger + aa^\dagger + aa^\dagger aa^\dagger + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger aa^\dagger a - a^\dagger a | E_0^m \rangle \]

進一步簡化：

\[ \langle E_0^m | 2aa^\dagger aa^\dagger + aa^\dagger + 4a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a | E_0^m \rangle \] \[ = \langle E_0^m | 2(a^\dagger a + 1)(a^\dagger a + 1) + (a^\dagger a + 1) + 4a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a | E_0^m \rangle \]

最終得到：

\[ \langle E_0^m | 6a^\dagger aa^\dagger a + 6a^\dagger a + 3 | E_0^m \rangle = 6m^2 + 6m + 3 \]

定義能階差：

\[ \Delta E^m_{m-1} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - \frac{\hbar^2}{96C} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 \left\{6[m^2 - (m-1)^2] + 6\right\} \]

\[ = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - \frac{\hbar^2 \pi^2}{96C} \frac{e^2}{\pi^2 \hbar^2} \left[6(2m - 1) + 6\right] \]

最終得到：

\[ \Delta E^m_{m-1} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - m\frac{e^2}{8C} \]

計算 \( \Delta E^{21} - \Delta E^{10} \)：

\[ \Delta E^{21} - \Delta E^{10} = \left(\frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - 2\frac{e^2}{8C}\right) - \left(\frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - \frac{e^2}{8C}\right) \]

\[ = -\frac{e^2}{8C} \equiv -E_C \]

\( E_C \) 表示其非線性效應。

Ref: DOI:10.1103/RevModPhys.93.025005

2.3 Types of Superconducting Qubits

不同超導量子位元可以根據主要能量尺度與電路設計分為多種類型。 常見的例子包括 Charge Qubit、Flux Qubit、Phase Qubit、Transmon、Fluxonium 與 0-π Qubit。 在現代 gate-based superconducting quantum computing 中，Transmon 是最廣泛使用的設計之一； Fluxonium 則因其長 coherence、較低 relaxation rate 與特殊能階結構而受到高度關注。

Qubit 類型 主要自由度 設計特色
Charge Qubit Cooper pair number 對電荷敏感，控制性佳但容易受 charge noise 影響
Flux Qubit 磁通量與環流方向 以超導迴路中的 persistent current 狀態作為基礎
Transmon Josephson phase 透過增加電容降低 charge noise sensitivity
Fluxonium Phase across Josephson junction and superinductor 使用 superinductor 形成特殊能階與雜訊保護

單元 1：超導量子晶片版圖導論

1.1 What Is a Superconducting Quantum Chip?

超導量子晶片是一種以微奈米製程製作的低溫量子電路。 在晶片上，量子位元、讀出共振腔、耦合器、控制線與接地結構被設計成特定的微波電路。 當晶片被冷卻到約 10 mK 到數十 mK 的低溫環境時，超導金屬中的電子形成 Cooper pairs， 電路的能量耗散大幅降低，使得特定電路模式可以展現量子化能階。

從工程觀點來看，超導量子晶片同時是一個微波電路、低溫電子系統與人工量子系統。 因此，理解超導量子晶片需要結合量子力學、電磁學、電路理論、材料科學與微奈米製程。

1.2 Typical Layout Elements

一個典型的超導量子晶片通常包含以下幾類元件：

晶片元件 功能 物理角色
Qubit 儲存與處理量子資訊 由非線性超導電路形成的人工原子
Readout Resonator 讀出 qubit 狀態 與 qubit dispersively coupled 的微波共振腔
Drive Line 施加 microwave pulse 控制 qubit 產生一量子位元旋轉操作
Flux Line 調控 qubit 或 coupler 的頻率 透過外加磁通量改變 Josephson energy
Coupler 連接兩個或多個 qubits 提供可固定或可調式的量子耦合
Ground Plane 提供電磁參考地與屏蔽 影響微波模式、串擾與封裝效應
Air Bridge / Crossover 連接接地平面或跨越訊號線 降低 slotline mode 與寄生耦合

1.3 From Circuit Layout to Hamiltonian

超導量子晶片的版圖不只是幾何圖案，它對應到具體的電路參數，例如電容、電感、耦合強度、 共振頻率與損耗通道。這些參數進一步決定系統的 Hamiltonian。

例如，一個 Transmon qubit 的大面積金屬 pad 決定總電容 \(C_\Sigma\)， Josephson junction 決定 Josephson energy \(E_J\)，而兩者共同決定 qubit frequency、 anharmonicity 與對電荷雜訊的敏感度。

核心觀念

在超導量子晶片中，「版圖設計」就是「Hamiltonian engineering」。 一個看似幾何的設計選擇，最終會轉換成量子系統的頻率、耦合、雜訊敏感度與可控制性。

學習檢核

  1. 超導量子晶片與傳統 CMOS 晶片最大的差異是什麼？
  2. 為什麼 readout resonator 需要與 qubit 耦合？
  3. 為什麼晶片版圖會影響 qubit 的 Hamiltonian？

課堂整合與驗收

研討問題：給定 \(f_{01}\) 與 target anharmonicity，估算 \(E_C\)、\(E_J\)、總電容及 \(I_c\)，再說明近似在哪裡可能失效。

完成條件：學生必須留下可檢查的推導、關係圖、比較表或 architecture decision，並能說明其物理假設與工程代價。

核心與延伸閱讀

逆向作業：從晶片照片反推人工原子

作業問題：給你一張超導量子晶片的局部影像，你能從幾何結構反推出它可能實現的 Hamiltonian 嗎？

  1. 辨認結構：標出 qubit pads、Josephson junction、ground、drive line、readout resonator；不確定處必須明確註記。
  2. geometry → parameter：說明 pad geometry、junction area、spacing 與 line length 分別影響哪些電路參數。
  3. parameter → Hamiltonian：指出影像中的哪些結構主要控制 \(E_C\)、\(E_J\) 與 coupling term。
  4. Hamiltonian → observable：預測 pad 變大、junction 變小或與 resonator 距離縮短時，\(f_{01}\)、anharmonicity、charge dispersion 或 coupling 如何改變。
  5. 推論邊界：列出僅靠影像不能知道、必須由製程資料、EM simulation 或實驗量測取得的資訊。

作業主鏈：晶片結構 → 幾何參數 → lumped-element model → Hamiltonian term → spectrum／control hypothesis。這是一題有證據邊界的逆向設計題，不要求學生在 W2 完成完整系統架構判斷。

王培儒 PHYS598500
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