超導量子電腦架構

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PHYS598500 · Week 2 · T2

超導電路量子化與 Transmon 設計

Circuit Quantization and Transmon Design

本週定位

課程長度：120 分鐘

核心問題：一張超導電路圖，如何一路變成可設計的 Transmon？

先備：Lagrangian/Hamiltonian mechanics、LC circuit、基礎 superconductivity

W2 超導電路量子化與 Transmon 設計

6 題

  1. 電路圖裡，哪些量可以成為自由度？

  2. 怎麼把電路變成 Hamiltonian？

  3. Josephson junction 為何能做出 qubit？

  4. Transmon 用什麼換到抗 charge noise？

  5. 目標頻率如何變成版圖與製程參數？

  6. 這套設計何時不該再用？

Transmon的性質

當前主流的超導量子位元

Ref: DOI:10.48550/arXiv.2203.04164

單元 2：什麼是超導量子位元？

2.1 Artificial Atoms from Superconducting Circuits

超導量子位元可以被視為人工原子。 自然原子的能階來自電子在原子核庫倫位能中的量子化運動； 超導量子位元的能階則來自電路中電荷、磁通量與 Josephson phase 的量子化運動。

在古典 LC 電路中，能量在電容的電場能與電感的磁場能之間交換，形成諧振。 若把 LC 電路量子化，它會形成 quantum harmonic oscillator。 然而，理想 harmonic oscillator 的能階間距完全相等，無法單獨選取最低兩個能階作為 qubit。 因此，超導 qubit 必須引入非線性，使能階間距不再相等。

2.2 Why Nonlinearity Is Necessary

若量子電路的能階為等間距，則從 \(\ket{0}\) 到 \(\ket{1}\) 的頻率與 從 \(\ket{1}\) 到 \(\ket{2}\) 的頻率相同。 這會導致微波控制無法只針對 qubit 子空間 \(\ket{0}, \ket{1}\)， 而容易激發到更高能階。

Josephson junction 提供了超導量子電路所需的非線性電感。 透過這個非線性，超導電路可以形成不等間距能階，使最低兩個能階能夠被用作量子位元。

2.3 Types of Superconducting Qubits

不同超導量子位元可以根據主要能量尺度與電路設計分為多種類型。 常見的例子包括 Charge Qubit、Flux Qubit、Phase Qubit、Transmon、Fluxonium 與 0-π Qubit。 在現代 gate-based superconducting quantum computing 中，Transmon 是最廣泛使用的設計之一； Fluxonium 則因其長 coherence、較低 relaxation rate 與特殊能階結構而受到高度關注。

Qubit 類型 主要自由度 設計特色
Charge Qubit Cooper pair number 對電荷敏感，控制性佳但容易受 charge noise 影響
Flux Qubit 磁通量與環流方向 以超導迴路中的 persistent current 狀態作為基礎
Transmon Josephson phase 透過增加電容降低 charge noise sensitivity
Fluxonium Phase across Josephson junction and superinductor 使用 superinductor 形成特殊能階與雜訊保護

LC電路的正則量子化

簡諧振蕩

量子物理中常見的簡諧振蕩，經過量子化後能產生離散的能階，這正是量子計算基礎中的量子位元所依賴的概念。量子位元需要以具有量子效應的元件為基礎，利用超導體作為量子材料，結合 LC 振蕩電路的概念，製造出超導量子位元。本節將首先討論 LC 電路的量子化過程。



▲一個基礎的 \(LC\) 振蕩電路包含一個電感 \(L\) 和一個電容 \(C\)。定義電容攜帶的電荷為 \(Q\)，當電容儲存的電荷改變速度（即 \(\dot{Q}\)）時，即表示電路上的流動電流。電容和電感分別儲存的能量可表達為： \[ E_C = \frac{Q^2}{2C}, \quad E_L = \frac{L\dot{Q}^2}{2}. \] 我們可以將 \(E_L\) 視為動能項 \(T\)，將 \(E_C\) 視為位能項 \(U\)，從而定義拉格朗日量 \(L\)： \[ \mathcal{L}(\dot{Q}, Q) = T - U = \frac{L\dot{Q}^2}{2} - \frac{Q^2}{2C}. \]

根據歐拉-拉格朗日方程： \[ \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} = 0, \] 我們得到： \[ L\ddot{Q} + \frac{Q}{C} = 0 \implies \ddot{Q} + \frac{Q}{LC} = 0, \] 即描述一個以頻率 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) 振蕩的簡諧運動。

量子化古典LC電路

什麼是正則量子化？

正則量子化是針對古典系統引入量子結構的一套方法，其核心是將 Hamiltonian 的 Poisson 結構替換為對易關係（commutator relation）。在前一節中，我們已經給出了 Lagrangian，現在透過 Lagendre 變換即可得到 Hamiltonian。

LC Circuit

LC 電路的基本關係

LC 電路由電容 \(C\) 與電感 \(L\) 組成。電容與電感的基本關係分別為： \[ \left\{ \begin{aligned} \text{Capacitor:}\qquad I_C &= C\frac{dV_C}{dt},\\[6pt] \text{Inductor:}\qquad V_L &= L\frac{dI_L}{dt}. \end{aligned} \right. \] 由於瞬時功率為 \(IV\)，因此電路元件所儲存的能量可以寫成： \[ E=\int_{0}^{t}IV\,dt. \]

令 \(Q\) 表示電容上的電荷，則電路電流可以寫成 \(I=\dot{Q}\)。電容與電感所儲存的能量分別為： \[ \left\{ \begin{aligned} E_C &= \frac{Q^2}{2C},\\[6pt] E_L &= \frac{L\dot{Q}^{\,2}}{2}. \end{aligned} \right. \] 這組能量形式與質量－彈簧系統相對應： \[ \left\{ \begin{aligned} E_C &= \frac{Q^2}{2C},\\[6pt] E_L &= \frac{L\dot{Q}^{\,2}}{2} \end{aligned} \right. \quad\longleftrightarrow\quad \left\{ \begin{aligned} V &= \frac{1}{2}Kx^2,\\[6pt] T &= \frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2}. \end{aligned} \right. \] 其中，\(x\) 為質量 \(m\) 的位移，\(K\) 為彈簧常數。兩個系統之間的對應關係為： \[ Q\longleftrightarrow x, \qquad L\longleftrightarrow m, \qquad \frac{1}{C}\longleftrightarrow K. \]

定義電感兩端的磁通量變數 \(\Phi\)： \[ \Phi \equiv \int_{0}^{t}V_L\,dt = \int_{0}^{t} L\frac{dI_L}{dt}\,dt = LI_L = L\dot{Q}. \] 因為 LC 電路中的電容與電感具有相同的端電壓， \(V_L=V_C\)，所以： \[ \frac{d\Phi}{dt} = V_L = V_C = \frac{Q}{C}. \] 因此，電荷 \(Q\) 與磁通量變數 \(\Phi\) 之間的關係為： \[ Q=C\dot{\Phi}. \]

將 \(Q=C\dot{\Phi}\) 以及 \(\Phi=L\dot{Q}\) 代入能量表達式，可以得到： \[ \left\{ \begin{aligned} E_C &= \frac{Q^2}{2C} = \frac{C\dot{\Phi}^{\,2}}{2},\\[8pt] E_L &= \frac{L\dot{Q}^{\,2}}{2} = \frac{\Phi^2}{2L}. \end{aligned} \right. \] 因此，以 \(\Phi\) 作為廣義座標時，電容能量扮演動能項，而電感能量扮演位能項。

LC 電路的 Lagrangian \(\mathcal{L}\) 為： \[ \mathcal{L} = E_C-E_L = \frac{C\dot{\Phi}^{\,2}}{2} - \frac{\Phi^2}{2L}. \]

與廣義座標 \(\Phi\) 對應的正則動量 \(\Pi\) 定義為： \[ \Pi \equiv \frac{\partial\mathcal{L}} {\partial\dot{\Phi}} = C\dot{\Phi} = Q. \] 因此，在 LC 電路中，磁通量 \(\Phi\) 的正則共軛動量就是電荷 \(Q\)。

Hamiltonian \(\mathcal{H}\) 由 Legendre transformation 定義為： \[ \mathcal{H} \equiv \Pi\dot{\Phi}-\mathcal{L}. \] 代入 \(\Pi=Q=C\dot{\Phi}\) 後，可以得到： \[ \mathcal{H} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L}. \]

Canonical Quantization

\[ [\hat{\Phi},\hat{Q}] = i\hbar \quad\longleftrightarrow\quad [x,p] = i\hbar. \]



正則座標的選擇 (Optional)

正則動量 \(\Phi_\#\) 定義為： \[ \Phi_\# \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} = \mathcal{L}\dot{Q} \leftrightarrow \dot{Q} = \frac{\Phi_\#}{L}. \] 此處 \(\Phi_\#\) 的單位與磁通量相同，可以視為電感內部的磁通量。Hamiltonian \(H(\Phi_\#, Q)\) 定義為： \[ \mathcal{H} \equiv \Phi_\# \dot{Q} - \mathcal{L} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C}. \]

在量子系統中，正則座標 \(q\) 和正則動量 \(p\) 滿足對易關係： \[ [x, p] = i\hbar. \] 對於本文中的參數，量子化條件為： \[ [Q, \Phi_\#] = i\hbar. \]

本文目前採用 \(\Phi_\#\) 作為記號，這是因為與傳統文章採用的方式相反。傳統文章中，Hamiltonian 對於 \(\Phi_\#\) 與 \(Q\) 的地位是對稱的，定義誰是正則座標、誰是正則動量「似乎」是可以對換的（然而，Lagrangian 中動能和位能是反對稱的）。因此，本文直接反過來，將磁通量的部分作為廣義坐標，記為 \(\Phi\)，而 \(Q\) 作為廣義動量。

在這種情況下，量子化條件變為： \[ [\Phi, Q] = i\hbar, \] 與本文的選擇差一個負號，即： \[ \Phi = -\Phi_\#. \] 這個負號也可以由 Lagrangian 的反對稱性進一步解釋。

有一種說法是因為後續會利用非線性的電感元件:約瑟夫森節（Josephson junction）取代線性電感，此非線性項如果出現在位能項比較好理解。不過，後面在驅動量子位元的時候，也是施加電容電壓來驅動，此時卻反而像驅動動能而不是驅動位能。以計算而言，誰是動能誰是位能是沒有差的。

我們引入新的變量 \(a\)、\(a^\dagger\)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( Q + i\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi_\# \right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( Q - i\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi_\# \right). \] 反之，可以表示為： \[ Q = \sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}} (a^\dagger + a), \quad \Phi_\# = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} (a^\dagger - a). \]

易證 \([a, a^\dagger] = 1\)： \[ [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = \frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}} \left[ Q, \Phi_\# \right] = 1. \] 我們可以利用 \(a\)、\(a^\dagger\) 重寫 Hamiltonian \(H(\Phi_\#, Q)\)： \[ \mathcal{H} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C} = \frac{\hbar \omega}{4} \left[ - (a^\dagger - a)^2 + (a^\dagger + a)^2 \right], \] 其中 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)。 展開後可得： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar \omega}{2} \left[ a^\dagger a + a^\dagger a + 1 \right] = \hbar \omega \left[ a^\dagger a + \frac{1}{2} \right]. \]

最終得到量子化後的 Hamiltonian，每個能階差為 \(\hbar \omega\)。

動能與位能項的互換

正則座標的嚴格定義

實際上，要正確地透過對易關係（commutator relation）進行量子化，需要嚴格規定 \(x, p\) 的對應關係，否則可能會出現負號上的偏差。承接前一節，我們知道： \[ \dot{\Phi}_\# = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} = -\frac{Q}{C} \implies Q = -C\dot{\Phi}_\#. \] 現在，我們將 Lagrangian \(L\) 轉換到動量空間。

定義新的 Lagrangian \(\bar{\mathcal{L}}\) 為： \[ \bar{\mathcal{L}} \equiv \mathcal{L} - \frac{d}{dt} (\Phi_\# Q) = \mathcal{L} - \dot{\Phi}_\# Q - \Phi_\# \dot{Q}, \] 展開後可得： \[ \bar{\mathcal{L}} = \frac{L\dot{Q}^2}{2} - \frac{Q^2}{2C} - \dot{\Phi}_\# Q - \Phi_\# \dot{Q} = \frac{\Phi_\#^2}{2L} - \frac{C\dot{\Phi}_\#^2}{2} + C\dot{\Phi}_\#^2 - \frac{\Phi_\#^2}{L}, \] 簡化為： \[ \bar{\mathcal{L}} = \frac{C\dot{\Phi}_\#^2}{2} - \frac{\Phi_\#^2}{2L}. \]

注意，此時 \(\mathcal{L}(Q, \dot{Q}) \to \bar{\mathcal{L}}(\Phi_\#, \dot{\Phi}_\#)\)，動能與位能的角色互換。同時，有 \(\bar{\mathcal{L}} = -\mathcal{L}\)，對應於 Lagrangian 的反對稱性。為吸收這一反對稱性，我們定義新的變量： \[ \Phi = -\Phi_\#. \] 這使得： \[ \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi) = \frac{C\dot{\Phi}^2}{2} - \frac{\Phi^2}{2L}. \]

對應的正則動量 \(\Pi\)（並利用前述結果與 \(Q\) 進行聯繫）： \[ \Pi \equiv \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial \dot{\Phi}} = C\dot{\Phi} = -C\dot{\Phi}_\# = Q \implies \dot{\Phi} = \frac{\Pi}{C} = \frac{Q}{C}. \]

Hamiltonian \(\bar{\mathcal{H}}\) 定義為： \[ \bar{\mathcal{H}} = \Pi\dot{\Phi} - \bar{\mathcal{L}} = \frac{\Pi^2}{C} - \frac{\Pi^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L} = \frac{\Pi^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L}, \] 與先前的 \(\mathcal{H}\) 完全一致。此時的量子化條件為： \[ [\Phi, \Pi] = [\Phi, Q] = i\hbar, \] 與傳統條件相同。

定義新的變量 \(a\)、\(a^\dagger\)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( \sqrt{\frac{C}{L}} \Phi + iQ \right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}}} \left( \sqrt{\frac{C}{L}} \Phi - iQ \right). \] 反之： \[ \Phi = \sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} (a^\dagger + a), \quad Q = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}} (a^\dagger - a). \]

易證 \([a, a^\dagger] = 1\)： \[ [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = \frac{1}{2\hbar} \sqrt{\frac{L}{C}} \left[ \Phi, Q \right] = 1. \] Hamiltonian \(H(\Phi, Q)\) 可改寫為： \[ \mathcal{H} = \frac{\Phi^2}{2L} + \frac{Q^2}{2C} = \frac{\hbar}{4\sqrt{LC}} \left[ (a^\dagger + a)^2 - (a^\dagger - a)^2 \right]. \] 由於 \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)，展開後可得： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar \omega}{4} \left[ (a^\dagger + a)^2 - (a^\dagger - a)^2 \right] = \hbar \omega \left[ a^\dagger a + \frac{1}{2} \right]. \]

最終，我們再次得到量子化後的 Hamiltonian，其中每個能階的差異為 \(\hbar \omega\)。

形式化 Lagrangian 動能與位能的互換

簡化推導步驟

從 \(L(\dot{Q}, Q)\) 出發，基於 Lagrangian 動能與位能的反對稱性，我們定義對應 \(\dot{Q}\) 的正則動量 \(\Phi\) 時手動加入一個負號，以吸收反對稱性（否則後續的 Hamiltonian 會為負）： \[ \Phi \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \implies \dot{\Phi} = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q}. \] 接下來，我們將 Lagrangian 換到 \((\dot{\Phi}, \Phi)\) 空間，即動量空間的 Lagrangian \(\bar{\mathcal{L}}\)： \[ \bar{\mathcal{L}} \equiv \mathcal{L} + \frac{d}{dt} (\Phi Q) = \mathcal{L} + \dot{\Phi} Q + \Phi \dot{Q}. \]

利用微分的方式，可以證明 \(\bar{\mathcal{L}} = \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi)\) 是 \((\dot{\Phi}, \Phi)\) 空間的函數： \[ d\bar{\mathcal{L}} = d\mathcal{L} + d(\dot{\Phi} Q) + d(\Phi \dot{Q}) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} d\dot{Q} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} dQ + Qd\dot{\Phi} + \dot{\Phi}dQ + \dot{Q}d\Phi + \Phi d\dot{Q}. \] 展開後，因為 \(-\Phi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}}\)，我們有： \[ d\bar{\mathcal{L}} = -\Phi d\dot{Q} - \dot{\Phi} dQ + Q d\dot{\Phi} + \dot{\Phi} dQ + \dot{Q} d\Phi + \Phi d\dot{Q} = Q d\dot{\Phi} + \dot{Q} d\Phi. \]

此時，對應 \(\dot{\Phi}\) 的正則動量 \(\Pi\) 為： \[ \Pi = \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial \dot{\Phi}} = Q, \] 即與原來的 \(Q\) 相同。對應的 Hamiltonian \(\bar{\mathcal{H}}\) 定義為： \[ \bar{\mathcal{H}} = \Pi \dot{\Phi} - \bar{\mathcal{L}} = Q\dot{\Phi} - \mathcal{L} - \dot{\Phi} Q - \Phi \dot{Q} = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}. \] 最終形式為： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}. \]

這樣，我們可以簡化後續的推導，只需遵循以下步驟：

  1. 寫下 \(L(\dot{Q}, Q)\)。
  2. 定義 \(\Phi \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}}\)，並得到 \(\dot{Q}\) 與 \(\Phi\) 的關係。
  3. 直接求出對應的 Hamiltonian： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q}, \] 並將 \(\dot{Q}\) 代入前述關係式。
  4. 量子化條件： \[ [Q, \Phi] = i\hbar. \]

這樣無需經過繁瑣的轉換 \(L(\dot{Q}, Q) \to \bar{\mathcal{L}}(\dot{\Phi}, \Phi) \to \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi)\)。特別是在後續引入外力耦合項時（如在推導如何驅動與讀取量子位元時，外部訊號與量子位元交互作用，或是兩個量子位元之間的耦合），如果按照繁瑣的推導，會出現類似於電磁場下的動量 \(p \to p - eA\) 的情況，在中間轉換時極度複雜。

註：注意到： \[ \bar{\mathcal{H}}(Q, \Phi) = -\mathcal{L} - \Phi \dot{Q} = -\mathcal{L} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \dot{Q} = H(\Phi, Q). \] \(H(\Phi, Q)\) 就是傳統上熟悉的 Hamiltonian。同時，\(\bar{\mathcal{H}} = H\) 再一次表明了 Hamiltonian 動能與位能的對稱性。



超導現象與 Josephson Junction

3.1 Superconductivity

超導是一種低溫量子凝聚態現象。當某些材料被冷卻到臨界溫度 \(T_c\) 以下時， 電阻消失，並且會排斥內部磁場，這稱為 Meissner effect。 在微觀層次中，電子透過與晶格振動的交互作用形成 Cooper pairs， 大量 Cooper pairs 進一步凝聚成具有共同相位的巨觀量子態。

超導體的重要特性

  • Zero resistance：直流電阻消失，使電路耗散大幅降低。
  • Meissner effect：超導體排斥磁場，形成磁通量屏蔽。
  • Cooper pair condensate：電子成對凝聚，形成巨觀量子相干態。
  • Macroscopic phase：超導態可用一個巨觀相位 \(\phi\) 描述。
  • Flux quantization：超導迴路中的磁通量以 \(\Phi_0 = h/2e\) 為單位量子化。

3.2 Macroscopic Quantum Phase

超導凝聚態可以用一個巨觀波函數描述：

\[ \Psi({r}) = |\Psi({r})| e^{i\phi({r})} \]

其中 \(\phi\) 是超導相位。對超導量子電路而言， 這個相位不只是抽象變數，而是可以作為電路自由度並被量子化。 因此，超導量子電路中的重要變數通常包含電荷數 \(n\) 與相位 \(\varphi\)， 並滿足類似位置與動量的共軛關係。

\[ [\hat{\varphi}, \hat{n}] = i \]

3.3 Josephson Junction

Josephson junction 是由兩個超導體中間夾著一層極薄絕緣層所構成的結構， 通常記為 SIS junction，也就是 superconductor-insulator-superconductor。 雖然中間是絕緣層，Cooper pairs 仍然可以透過量子穿隧效應通過 junction， 形成 Josephson current。

Josephson Relations

Josephson junction 的電流與相位差之間具有非線性關係：

\[ I = I_c \sin\varphi \]

當 junction 兩端存在電壓 \(V\) 時，相位差會隨時間演化：

\[ V = \frac{\Phi_0}{2\pi}\frac{d\varphi}{dt} \]

其中 \(\Phi_0 = h/2e\) 是超導磁通量量子。 Josephson energy 可寫為：

\[ E_J = \frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} \]

3.4 Josephson Junction as a Nonlinear Inductor

Josephson junction 的關鍵價值在於它提供非線性電感。 一般線性電感的能量與相位近似呈二次關係； Josephson junction 的能量則為：

\[ U_J(\varphi) = -E_J \cos\varphi \]

這個 cosine potential 使得電路能階不再等間距， 因此能從量子振盪器中選出最低兩個能階作為 qubit。

核心觀念

沒有 Josephson junction，超導 LC 電路只是近似 harmonic oscillator； 有了 Josephson junction，電路才具有足夠非線性，可以形成可選址的量子二能階系統。

學習檢核

  1. Josephson junction 為什麼能讓 Cooper pairs 穿過絕緣層？
  2. Josephson current 與相位差之間的關係是什麼？
  3. 為什麼 Josephson junction 可被視為 nonlinear inductor？

約瑟夫森節的非線性電感性質

非線性使得精確控制量子位元成為可能

約瑟夫森接面的量子描述

▲描述一個約瑟夫森接面，其材料的內秉性質由 \(H_0\) 描述。在接面兩端施加電壓 \(V\)，超導波函數之間的交互作用以 \(K\) 表示，其運動方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} H_0 - \frac{qV}{2} & K \\ K & H_0 + \frac{qV}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix}. \] 當 \(q = -2e\)（古柏對）時，方程變為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} H_0 + eV & K \\ K & H_0 - eV \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \\ \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \end{pmatrix}. \]

\(\theta_A, n_A \)完整推導過程

第一條方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A} e^{i\theta_A}) = \frac{i}{2} \frac{e^{i\theta_A}}{\sqrt{n_A}} \frac{\partial n_A}{\partial t} - \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV) \sqrt{n_A} e^{i\theta_A} + K\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}. \] 將實部與虛部分離後得到： \[ \frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} - n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV)n_A + K\sqrt{n_A n_B} e^{i(\theta_B - \theta_A)}. \] 其共軛方程為： \[ -\frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} - n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = (H_0 + eV)n_A + K\sqrt{n_A n_B} e^{-i(\theta_B - \theta_A)}. \]

將兩式相加可得： \[ -2n_A \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = 2(H_0 + eV)n_A + 2K\sqrt{n_A n_B} \cos(\theta_B - \theta_A), \] 整理得到 \(\theta_A\) 的方程： \[ \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = -(H_0 + eV) - K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
將兩式相減可得： \[ i\hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2iK\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A), \] 即： \[ \hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]
\(\theta_B, n_B \)完整推導過程

第二條方程為： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}) = \frac{i}{2} \frac{e^{i\theta_B}}{\sqrt{n_B}} \frac{\partial n_B}{\partial t} - \sqrt{n_B} e^{i\theta_B} \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A} e^{i\theta_A} + (H_0 - eV)\sqrt{n_B} e^{i\theta_B}. \] 拆分後為： \[ \frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} - n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A n_B} e^{-i(\theta_B - \theta_A)} + (H_0 - eV)n_B. \] 其共軛方程為： \[ -\frac{i}{2}\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} - n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = K\sqrt{n_A n_B} e^{i(\theta_B - \theta_A)} + (H_0 - eV)n_B. \]

將兩式相加可得： \[ -2n_B \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \cos(\theta_B - \theta_A) + 2(H_0 - eV)n_B, \] 整理得到 \(\theta_B\) 的方程： \[ \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = -(H_0 - eV) - K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
將兩式相減可得： \[ i\hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2iK\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A), \] 即： \[ \hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]

整理得出以下方程：

  • 對於 \(\theta_A\)： \[ \hbar \frac{\partial \theta_A}{\partial t} = -(H_0 + eV) - K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
  • 對於 \(\theta_B\)： \[ \hbar \frac{\partial \theta_B}{\partial t} = -(H_0 - eV) - K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}} \cos(\theta_B - \theta_A). \]
  • 對於 \(n_A\)： \[ \hbar \frac{\partial n_A}{\partial t} = 2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]
  • 對於 \(n_B\)： \[ \hbar \frac{\partial n_B}{\partial t} = -2K\sqrt{n_A n_B} \sin(\theta_B - \theta_A). \]

定義相位差 \(\Delta \theta = \theta_B - \theta_A\)，並將前兩個方程相減，可得： \[ \hbar \frac{\partial \Delta \theta}{\partial t} = 2eV + \frac{K}{\hbar} \left( \frac{n_B - n_A}{\sqrt{n_A n_B}} \right) \cos\Delta \theta. \] 將後兩條方程結合並定義電流 \(I\) 為： \[ -\frac{\partial n_A}{\partial t} = \frac{\partial n_B}{\partial t} \equiv \frac{I}{-2e}. \] 整理得到： \[ I = \frac{4eK}{\hbar} \sqrt{n_A n_B} \sin\Delta \theta \equiv I_c \sin\Delta \theta, \] 其中 \(I_c\) 為該約瑟夫森接面的臨界電流。

定義約瑟夫森接面的非線性電感： \[ L_J(\Delta \theta) = \left(\frac{2e}{\hbar I_c \cos\Delta \theta}\right). \] 電感儲存的能量為： \[ E = \int IV dt = \int I_0 \sin\Delta \theta \cdot \frac{\hbar}{q} \frac{\partial \Delta \theta}{\partial t} dt = -\frac{I_0 \hbar}{2e} \cos\Delta \theta \equiv -\frac{I_0 \Phi_0}{2\pi} \cos\Delta \theta, \] 其中，磁通量子 \(\Phi_0 = \frac{2\pi\hbar}{2e}\)，並定義： \[ E_J = \frac{I_0 \Phi_0}{2\pi}. \]

▲從線性的\(LC\)電路，變成以約瑟夫森節的非線性電感組合出的非線性\(LC\)電路。\(L_J\)為約瑟夫森節的電感值。

單元 4：Transmon Qubit

4.1 From LC Circuit to Quantum LC Oscillator

在古典電路中，LC 振盪器的能量在電容與電感之間交換。 電容儲存電場能，電感儲存磁場能。 若將 LC 振盪器量子化，會得到等間距能階：

\[ E_m = \hbar\omega\left(m + \frac{1}{2}\right) \]

這樣的 harmonic oscillator 並不適合作為 qubit，因為相鄰能階間距相同， 控制脈衝無法只選擇 \(\ket{0} \leftrightarrow \ket{1}\) transition。

4.2 Nonlinear LC Circuit

Transmon 可以被理解為一個 nonlinear LC oscillator。 它以 Josephson junction 取代一般線性電感，並加入較大的 shunt capacitance。 Josephson junction 提供非線性，shunt capacitor 則降低 charging energy， 使 qubit 對 offset charge noise 不敏感。

Transmon 的基本電路包含：

  • 一個 Josephson junction 或 SQUID loop。
  • 一個大型 shunt capacitor。
  • 與微波控制線、讀出共振腔或耦合器之間的電容耦合。

4.3 Transmon Hamiltonian

Transmon Hamiltonian 可寫為：

\[ \hat{H}_{\mathrm{transmon}} = 4E_C(\hat{n} - n_g)^2 - E_J\cos\hat{\varphi} \]

其中：

  • \(\hat{n}\)：Cooper pair number operator。
  • \(\hat{\varphi}\)：Josephson junction 兩端的超導相位差。
  • \(n_g\)：offset charge，代表環境電荷雜訊或 gate-induced charge。
  • \(E_C = e^2 / 2C_\Sigma\)：charging energy，由總電容 \(C_\Sigma\) 決定。
  • \(E_J = \Phi_0 I_c / 2\pi\)：Josephson energy，由 junction critical current 決定。

Transmon 的重要設計條件是：

\[ \frac{E_J}{E_C} \gg 1 \]

在這個 regime 中，能階對 offset charge \(n_g\) 的敏感度會被大幅壓低， 但仍保留足夠的 anharmonicity，使最低兩個能階可以作為 qubit 使用。

4.4 Energy Spectrum and Anharmonicity

在 \(E_J/E_C \gg 1\) 的近似下，Transmon 的最低能階可近似為弱非諧振盪器。 其 \(\ket{0} \rightarrow \ket{1}\) transition frequency 約為：

\[ \omega_{01} \approx \frac{\sqrt{8E_JE_C} - E_C}{\hbar} \]

Transmon 的 anharmonicity 約為：

\[ \alpha = \omega_{12} - \omega_{01} \approx -\frac{E_C}{\hbar} \]

Anharmonicity 是量子閘控制中的重要參數。 若 \(|\alpha|\) 太小，微波脈衝容易造成 leakage 到 \(\ket{2}\)； 若 \(|\alpha|\) 太大，通常代表 \(E_C\) 較大，可能提高對 charge noise 的敏感度。 因此 Transmon 設計需要在 charge-noise protection 與 control selectivity 之間取得平衡。

4.5 Design of \(E_C\) and \(E_J\)

Transmon 的設計核心在於選擇合適的 \(E_C\)、\(E_J\) 與 \(E_J/E_C\)。 這些參數分別由晶片幾何、材料與 Josephson junction 製程決定。

參數 定義 由什麼決定 設計影響
\(E_C\) \(e^2/2C_\Sigma\) 總電容、pad 面積、耦合電容、封裝環境 決定 anharmonicity 與 charge-noise sensitivity
\(E_J\) \(\Phi_0 I_c/2\pi\) Josephson junction 面積、氧化層厚度、臨界電流密度 決定 qubit frequency 與 potential depth
\(E_J/E_C\) Josephson energy 與 charging energy 比值 junction 與 capacitor 的共同設計 控制 charge dispersion 與 anharmonicity 的 trade-off

4.6 Fixed-Frequency and Tunable Transmon

Transmon 可以分為 fixed-frequency transmon 與 tunable transmon。 Fixed-frequency transmon 使用單一 Josephson junction，頻率在製作後大致固定。 Tunable transmon 則使用 SQUID loop 取代單一 junction，使有效 Josephson energy 可由外加磁通量調控。

\[ E_J(\Phi_{\mathrm{ext}}) \approx E_{J,\mathrm{max}} \left| \cos\left(\pi\frac{\Phi_{\mathrm{ext}}}{\Phi_0}\right) \right| \]

Tunable transmon 提供更高的控制彈性，可用於頻率調諧、兩量子位元閘與避免 frequency collision； 但同時也會增加對 flux noise 的敏感度。

設計直覺

Transmon 的成功來自一個簡潔但深刻的設計策略： 用較大的電容降低 \(E_C\)，犧牲部分 anharmonicity， 換取對電荷雜訊的指數級保護。

學習檢核

  1. 為什麼單純的量子 LC oscillator 不適合作為 qubit？
  2. Josephson junction 在 Transmon 中扮演什麼角色？
  3. 為什麼 Transmon 需要設計在 \(E_J/E_C \gg 1\) 的區域？
  4. \(E_C\) 太大或太小分別會造成什麼問題？
  5. Fixed-frequency Transmon 與 Tunable Transmon 的優缺點為何？

進階主線：設計不是把 \(E_J/E_C\) 做得越大越好

\[H=4E_C(\hat n-n_g)^2-E_J\cos\hat\varphi\]

在 \(E_J/E_C\gg1\) 的 transmon regime，低能階近似

\[\hbar\omega_{01}\approx\sqrt{8E_JE_C}-E_C,\qquad \alpha\equiv\omega_{12}-\omega_{01}\approx-\frac{E_C}{\hbar}\]

charge dispersion 隨 \(\exp[-\sqrt{8E_J/E_C}]\)（帶有能階依賴的代數前因子）指數下降，但 anharmonicity 只以較慢尺度下降。這是 transmon 成功的核心；代價是 pulse selectivity、leakage、frequency crowding 與 fabrication spread 必須一起設計。

固定頻率 transmon 減少 flux-noise sensitivity；SQUID transmon 提供可調頻率與 gate mechanism，卻引入 flux line、sweet spot 與 drift 問題。真正的設計問題是 noise、control、coupling、yield 與 calibration 的聯立最佳化。

雙約瑟夫森節（SQUID）的非線性電感性質

頻率可調式量子位元

將兩組約瑟夫森節 \(J_1\)、\(J_2\) 相組，中間形成一個閉環，通入磁通 \( \Phi_B \) 與電壓 \( V \)。在前一節中，超導函數的相位對閉環的積分需滿足： \[ \oint \nabla \theta(r) \cdot d\vec{l} - \frac{q}{\hbar} \Phi_B = 2\pi N \] 因為在接面不連續會貢獻 \( \Delta\theta_1 \)、\( \Delta\theta_2 \)，\( q = -2e \)，帶入得： \[ \Delta\theta_2 - \Delta\theta_1 + 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0} = 2\pi N \] \[ \Delta\theta_2 = \Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0} + 2\pi N \]

當整個 SQUID 通入電流 \( I = I_1 + I_2 \)，並使用前一節約瑟夫森節電流的關係式（這裡考慮對稱的 SQUID，即兩個約瑟夫森節的特性 \( I_c \) 相同），計算得： \[ I = I_1 + I_2 = I_0 (\sin\Delta\theta_1 + \sin\Delta\theta_2) \] \[ I = I_0 \left[\sin\Delta\theta_1 + \sin\left(\Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0} + 2\pi N\right)\right] \] \[ I = I_0 \left[\sin\Delta\theta_1 + \sin\left(\Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0}\right)\right] \] 利用三角恆等式化簡： \[ I = I_0 \left[2 \sin\left(\frac{\Delta\theta_1 + \Delta\theta_1 - 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0}}{2}\right) \cos\left(\frac{\Delta\theta_1 - \Delta\theta_1 + 2\pi \frac{\Phi_B}{\Phi_0}}{2}\right)\right] \] \[ I = 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \sin\left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \]

前一節提到約瑟夫森節具有電感的性質，同理我們可以討論 SQUID 的電感性質。將電流對時間微分： \[ \dot{I} = 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \cos\left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \dot{\Delta\theta_1} \] 而 \( \dot{\Delta\theta_1} \) 與電壓 \( V \) 的關係為： \[ V = \frac{\hbar}{2e} \dot{\Delta\theta_1} = \frac{\Phi_0}{2\pi} \dot{\Delta\theta_1} \] 帶入後可得電感值： \[ L_{\text{SQUID}}(\Delta\theta_1, \Phi_B) = \left[\frac{2\pi}{\Phi_0} \cdot 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \cos\left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right)\right] \]

可以注意到 \( L_{\text{SQUID}} \) 的值會受到外加磁通 \( \Phi_B \) 的影響，這為後來 Tunable Transmon 調整頻率的關鍵。定義變數 \( \Phi \)： \[ \Phi \equiv \frac{\Delta\theta_1}{\pi} \Phi_0 - \Phi_B = \frac{\Phi_0}{\pi} \left(\Delta\theta_1 - \frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) \] 並有： \[ \dot{\Phi} = \frac{\Phi_0}{\pi} \dot{\Delta\theta_1} \] 電壓 \( V \) 和電流 \( I \) 分別為： \[ V = \frac{1}{2} \dot{\Phi}, \quad I = 2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \sin\left(\frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) \]

固定外場 \( \Phi_B \) 下，一組 SQUID 儲存的能量為： \[ E = \int IV \, dt = \int \left[2I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \sin\left(\frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) \cdot \frac{1}{2} \dot{\Phi}\right] dt \] 化簡得： \[ E = I_0 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \int \sin\left(\frac{\Phi}{\Phi_0} \pi\right) d\Phi \] \[ E = -\frac{I_0 \Phi_0}{\pi} \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \cos\left(\frac{\pi}{\Phi_0} \Phi\right) \]

Tunable Transmon

可調頻率的Transmon

▲由兩個約瑟夫森節組合成可調電感值的\(LC\)電路。

前文提及約瑟夫森節具有電感性質，Transmon即是LC電路中的電感替換成約瑟夫森節。本節直接討論 Tunable Transmon，採用 SQUID 當作電感。實務上因為材料製作的不均一性，不同 Transmon 會有不一樣的特性，如果採用 Tunable Transmon，可以透過微調磁通量 \( \Phi_B \) 的方式使 Qubit 性質一致。此外，我們在前面量子化 LC 電路時，\([ \Phi, Q ] = i\hbar\) 是一對正則變量，利用 SQUID 的推導可以很自然地將磁通量 \( \Phi \) 與相位差 \( \Delta\theta \) 做聯繫，即： \[ \Phi \equiv \frac{\Delta\theta_1}{\pi} \Phi_0 - \Phi_B \]

現在我們寫下 Hamiltonian： \[ \mathcal{H} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi_\#^2}{2L} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{(I_0 \pi)}{2\Phi_0} \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \Phi^2 - \frac{I_0}{24} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^3 \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right) \Phi^4 + \cdots \] \[ = \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L} - \frac{1}{24L} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 \Phi^4 + \cdots \] 其中： \[ L = \left(\frac{I_0 \pi}{\Phi_0} \cos\left(\frac{\Phi_B}{\Phi_0} \pi\right)\right)^{-1} \]

現在我們要討論非線性對於能階的改變，前文我們選擇新的變量 \( a \)、\( a^\dagger \)： \[ a = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{ \frac{L}{C}}} \left(\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi + iQ\right), \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{1}{2\hbar} \sqrt{ \frac{L}{C}}} \left(\sqrt{\frac{C}{L}} \Phi - iQ\right) \] 反之： \[ \Phi = \sqrt{\frac{\hbar}{2 }\sqrt{ \frac{L}{C}}} (a^\dagger + a), \quad Q = i\sqrt{\frac{\hbar}{2} \sqrt{ \frac{C}{L}}} (a^\dagger - a) \]

將 Hamiltonian 表達式展開為： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} \left[a^\dagger a + \frac{1}{2}\right] - \frac{1}{24L} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 \left[i \sqrt{\frac{\hbar}{2\sqrt{L/C}}} (a^\dagger + a)\right]^4 \] 化簡後： \[ \mathcal{H} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} \left[a^\dagger a + \frac{1}{2}\right] - \frac{\hbar^2}{96C} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 (a^\dagger + a)^4 \] 該表達式包含線性和非線性項，線性項描述的是量子簡諧振子的能階，而非線性項源自於 Josephson 節對於能階的修正。

利用微擾理論，當 \( \mathcal{H} = H_0 + \Delta H \)， \( \ket{E_0^m} \to \ket{E^m} \)、 \( E_0^m \to E^m = E_0^m + \delta E^m \)，我們知道對能階 \( E_0^m \) 的修正 \( \delta E^m \) 為：

\[ \delta E^m = \langle E_0^m | \Delta H | E_0^m \rangle = \langle E_0^m | \left[-\frac{\hbar^2}{96C} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 (a^\dagger + a)^4\right] | E_0^m \rangle \]

計算如下：

\[ \langle E_0^m | (a^\dagger + a)^4 | E_0^m \rangle = \langle E_0^m | (aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger)^2 | E_0^m \rangle \]

展開為：

\[ \langle E_0^m | aa(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) + aa^\dagger(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) + a^\dagger a(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) + a^\dagger a^\dagger(aa + aa^\dagger + a^\dagger a + a^\dagger a^\dagger) \ket{ E_0^m } \]

因為取期望值，只會留下 \( a, a^\dagger \) 次數相等的項，剩下：

\[ \langle E_0^m | aaa^\dagger a^\dagger + aa^\dagger aa^\dagger + aa^\dagger a^\dagger a + a^\dagger aaa^\dagger + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a^\dagger aa | E_0^m \rangle \]

繼續簡化：

\[ \langle E_0^m | a(a^\dagger a + 1)a^\dagger + aa^\dagger aa^\dagger + (a^\dagger a + 1)a^\dagger a + a^\dagger a(a^\dagger a + 1) + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger (aa^\dagger - 1)a | E_0^m \rangle \]

再整理為：

\[ \langle E_0^m | aa^\dagger aa^\dagger + aa^\dagger + aa^\dagger aa^\dagger + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a + a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger aa^\dagger a - a^\dagger a | E_0^m \rangle \]

進一步簡化：

\[ \langle E_0^m | 2aa^\dagger aa^\dagger + aa^\dagger + 4a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a | E_0^m \rangle \] \[ = \langle E_0^m | 2(a^\dagger a + 1)(a^\dagger a + 1) + (a^\dagger a + 1) + 4a^\dagger aa^\dagger a + a^\dagger a | E_0^m \rangle \]

最終得到：

\[ \langle E_0^m | 6a^\dagger aa^\dagger a + 6a^\dagger a + 3 | E_0^m \rangle = 6m^2 + 6m + 3 \]

定義能階差：

\[ \Delta E^m_{m-1} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - \frac{\hbar^2}{96C} \left(\frac{\pi}{\Phi_0}\right)^2 \left\{6[m^2 - (m-1)^2] + 6\right\} \]

\[ = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - \frac{\hbar^2 \pi^2}{96C} \frac{e^2}{\pi^2 \hbar^2} \left[6(2m - 1) + 6\right] \]

最終得到：

\[ \Delta E^m_{m-1} = \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - m\frac{e^2}{8C} \]

計算 \( \Delta E^{21} - \Delta E^{10} \)：

\[ \Delta E^{21} - \Delta E^{10} = \left(\frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - 2\frac{e^2}{8C}\right) - \left(\frac{\hbar}{\sqrt{LC}} - \frac{e^2}{8C}\right) \]

\[ = -\frac{e^2}{8C} \equiv -E_C \]

\( E_C \) 表示其非線性效應。

Ref: DOI:10.1103/RevModPhys.93.025005

單元 1：超導量子晶片版圖導論

1.1 What Is a Superconducting Quantum Chip?

超導量子晶片是一種以微奈米製程製作的低溫量子電路。 在晶片上，量子位元、讀出共振腔、耦合器、控制線與接地結構被設計成特定的微波電路。 當晶片被冷卻到約 10 mK 到數十 mK 的低溫環境時，超導金屬中的電子形成 Cooper pairs， 電路的能量耗散大幅降低，使得特定電路模式可以展現量子化能階。

從工程觀點來看，超導量子晶片同時是一個微波電路、低溫電子系統與人工量子系統。 因此，理解超導量子晶片需要結合量子力學、電磁學、電路理論、材料科學與微奈米製程。

1.2 Typical Layout Elements

一個典型的超導量子晶片通常包含以下幾類元件：

晶片元件 功能 物理角色
Qubit 儲存與處理量子資訊 由非線性超導電路形成的人工原子
Readout Resonator 讀出 qubit 狀態 與 qubit dispersively coupled 的微波共振腔
Drive Line 施加 microwave pulse 控制 qubit 產生一量子位元旋轉操作
Flux Line 調控 qubit 或 coupler 的頻率 透過外加磁通量改變 Josephson energy
Coupler 連接兩個或多個 qubits 提供可固定或可調式的量子耦合
Ground Plane 提供電磁參考地與屏蔽 影響微波模式、串擾與封裝效應
Air Bridge / Crossover 連接接地平面或跨越訊號線 降低 slotline mode 與寄生耦合

1.3 From Circuit Layout to Hamiltonian

超導量子晶片的版圖不只是幾何圖案，它對應到具體的電路參數，例如電容、電感、耦合強度、 共振頻率與損耗通道。這些參數進一步決定系統的 Hamiltonian。

例如，一個 Transmon qubit 的大面積金屬 pad 決定總電容 \(C_\Sigma\)， Josephson junction 決定 Josephson energy \(E_J\)，而兩者共同決定 qubit frequency、 anharmonicity 與對電荷雜訊的敏感度。

核心觀念

在超導量子晶片中，「版圖設計」就是「Hamiltonian engineering」。 一個看似幾何的設計選擇，最終會轉換成量子系統的頻率、耦合、雜訊敏感度與可控制性。

學習檢核

  1. 超導量子晶片與傳統 CMOS 晶片最大的差異是什麼？
  2. 為什麼 readout resonator 需要與 qubit 耦合？
  3. 為什麼晶片版圖會影響 qubit 的 Hamiltonian？

進階主線：Circuit → Lagrangian → Hamiltonian → Spectrum

（W2-C1, W2-D1, W2-D2）對節點磁通 \(\Phi\) 而言，電容網路提供 kinetic term，電感與 Josephson junction 提供 potential term：

\[\mathcal L=\frac12\dot{\Phi}^{T} C\dot{\Phi}-U(\Phi),\qquad Q=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot{\Phi}}\]

Legendre transform 得到 \(H(\Phi, Q)\)，再施加 \([\hat\Phi_i,\hat Q_j]=i\hbar\delta_{ij}\)。線性 LC 電路只產生等距能階；Josephson term

\[U_J(\varphi)=-E_J\cos\varphi,\qquad E_J=\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}\]

才打破 harmonicity，使最低兩能階可以被選擇性控制。進階課需要讓學生實際走完一次「由 schematic 到 Hamiltonian」；只背 transmon 公式不足以判斷寄生 mode、coupling 與 layout 變更的後果。

邊界：本週不深入 BCS microscopic derivation；超導體在這裡主要提供 macroscopic phase、低損耗 wiring 與 Josephson element。微觀材料損耗留到 T6。

課堂整合與驗收

研討問題：由一個含 \(C\)、\(L\)、JJ 的單節點電路寫出 \(\mathcal L\)、canonical charge 與 \(H\)，並指出哪個參數由版圖或製程控制。

完成條件：學生必須留下可檢查的推導、關係圖、比較表或 architecture decision，並能說明其物理假設與工程代價。

課堂整合與驗收

研討問題：給定 \(f_{01}\) 與 target anharmonicity，估算 \(E_C\)、\(E_J\)、總電容及 \(I_c\)，再說明近似在哪裡可能失效。

完成條件：學生必須留下可檢查的推導、關係圖、比較表或 architecture decision，並能說明其物理假設與工程代價。

核心與延伸閱讀

核心與延伸閱讀

王培儒 PHYS598500
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