2026中研院QPU冬季Workshop

在超導量子電腦概論裡，我們介紹過利用微波脈衝控制 Qubit，並利用 readout resonator 讀取它的狀態。但實務上，設定一個頻率、打一個脈衝，就真的會得到想要的量子態嗎？室溫端設定的電壓，經過混頻器、衰減器、纜線與低溫電路後，到了晶片端已經不是同一個波形；每個 Qubit 的頻率、耦合與相干時間也不完全相同。Calibration（校正）就是透過一系列可量測的實驗，建立「控制參數」與「量子操作」之間的對應。

這篇以可調頻率 Transmon 常見的校正流程為主，從共振器、單量子位元一路介紹到雙量子位元閘。固定頻率 Qubit、不同耦合器或不同的原生量子閘，會使用不同的部分步驟。讀圖時，先確認三件事情：橫軸掃描什麼、縱軸量到什麼，以及這個實驗到底決定哪個參數。這樣才不會把一張漂亮的振盪圖，直接當成高保真度的證明。

▲ 超導 Qubit 校正的十個常見環節。上排由左至右先建立讀出與控制，中排由右至左微調驅動、讀出與相干性，下排再進到雙位元交互作用、量子閘與整體驗證。這是使用者提供的流程示意資料，原始出處與完整量測條件未提供；圖中數字不代表本次 Workshop 的實測成果。本文另繪的圖都標示為「模擬教學示意」，用來說明曲線形狀與判讀方法。

校正前，先弄清楚儀器量到的是什麼

超導 Qubit 的量測，通常不是直接收到一個 0 或 1，而是先收到微波訊號。訊號經下變頻與積分後，得到 \(I\)、\(Q\) 兩個正交分量，再經過分類轉成量子位元的量測結果。因此，原圖裡標示「Trans. amp. [mV]」的縱軸是傳輸訊號的振幅，並不直接等於激發態機率 \(P_1\)。要將它換成 \(P_1\)，需要先準備參考態、建立讀出模型；若還有 \(|2\rangle\) 漏態，單純用兩個參考點線性換算也可能失準。

實驗開始前，應確認通道對應、LO 與取樣時脈、觸發同步、讀出延遲，以及使用 IQ mixer 時的 LO leakage 與鏡像抑制。每次量測也需要一致的初始態：可以等待弛豫，或使用經過驗證的 active reset。若前一次實驗留下激發態或共振器光子，下一次掃描就不再從相同條件出發。這些基礎工作做好，後續擬合出的物理參數才有意義。 Ref: Gao 等，Practical Guide for Building Superconducting Quantum Devices；LabOne Q：參考態與讀出時序。

1. Readout resonator：先找到讀出共振器

首先掃描讀出微波的頻率，量測傳輸或反射響應。若是常見的 hanger resonator，在傳輸振幅上可以看到一個凹谷；其他量測幾何也可能呈現峰值或不同的複數響應。共振中心給出讀出共振器的頻率 \(f_r\)，線寬則和能量衰減、耦合強度有關。在簡單的單模近似下，載入品質因子可寫成 \(Q_L\approx f_r/\Delta f\)。真正要取出內部損耗與外部耦合時，還需要對複數響應、背景與纜線延遲做適當擬合，不能只量凹谷有多深。

這一步的目的，是先讓我們有辦法「看到」Qubit。當 Qubit 與共振器處於 dispersive regime 時，共振器頻率會依 Qubit 的狀態改變。之後分別準備 \(|0\rangle\) 與 \(|1\rangle\)，便能找出讀出訊號最容易區分的位置。最後使用的讀出頻率不一定等於初始掃描的凹谷中心，因為還要考慮兩個量子態的差異、雜訊與讀出功率。 Ref: LabOne Q：Resonator Spectroscopy；Blais 等，circuit QED 與 dispersive readout。

▲ 模擬教學示意。（A）Qubit 處於不同狀態時，共振器的響應位置不同；兩條曲線是簡化的複數 notch response，並非實驗擬合。（B）每個磁通偏壓都掃描一次 Qubit 驅動頻率，顏色表示響應強度，形成頻率隨磁通變化的軌跡。虛線與 sweet spot 用來說明操作點的選擇，圖中 GHz 與 MHz 數值均為示範設定。

2. Flux bias 與 Qubit spectroscopy：找到操作頻率

接下來固定讀出頻率，在 Qubit drive line 掃描另一個微波頻率；當驅動接近 \(|0\rangle\leftrightarrow|1\rangle\) 的轉換頻率 \(f_{01}\)，讀出響應便會改變。這就是 two-tone spectroscopy：一個 tone 激發 Qubit，另一個 tone 負責偵測。先做較寬範圍的搜尋，再降低驅動功率、縮小掃描範圍，可以減少 power broadening 對中心位置與線寬判讀的影響。 Ref: LabOne Q：Qubit Spectroscopy。

若 Transmon 的約瑟夫森元件是 SQUID，磁通會改變有效約瑟夫森能量，進而改變頻率。在 Transmon 近似下，

\[ f_{01}(\Phi)\approx\frac{\sqrt{8E_CE_J(\Phi)}-E_C}{h}. \]

故一邊掃 flux bias、一邊做 spectroscopy，就可以建立控制電壓與 Qubit 頻率的對應。原始總覽圖的第二格正是在呈現這類軌跡。要注意，儀器上的 mV 是控制電壓，還不是磁通本身；電壓到 \(\Phi\) 的換算須另外標定。頻率對磁通的一階導數接近零的位置稱為 flux sweet spot，能降低一階磁通擾動造成的頻率變動。不過實際選點還要避開鄰近 Qubit、缺陷或其他模態，並兼顧雙位元閘需要的可調範圍。 Ref: Koch 等，Transmon 的能階、非諧性與磁通調控。

3. Rabi oscillation：把脈衝校正成 \(\pi\) 與 \(\pi/2\)

找到 Qubit 頻率之後，就可以開始控制狀態了！共振驅動下，Bloch 球上的旋轉角由 Rabi rate 的時間積分決定：

\[ \theta=\int_0^{t_p}\Omega_R(t)\,dt,\qquad P_1=\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right). \]

固定脈衝長度與包絡，掃描振幅 \(A\)，就得到 amplitude Rabi；固定振幅、掃描時間，則是 time Rabi。以從 \(|0\rangle\) 出發的理想情況而言，第一次到達最大激發機率對應 \(\pi\)-pulse，回到 \(|0\rangle\) 則對應 \(2\pi\)。若控制鏈在線性範圍，\(A_{\pi/2}\approx A_\pi/2\) 可以作為初始估計，但仍應分別驗證兩種脈衝。原圖第三格的週期振盪，正是用來找到這種對應。 Ref: LabOne Q：Amplitude Rabi。

為什麼還需要精校？因為 Rabi 曲線最大值附近很平，振幅稍微偏掉，單次量測也不容易看出差異。可以先用 \(\pi/2\) 把狀態帶到 Bloch 球赤道，再重複施加待校正旋轉，讓每次很小的 over-rotation 或 under-rotation 累積成可辨識的偏差。依擬合結果修正振幅，再用獨立序列確認。這類 error amplification 的精度仍受相干時間限制，不能無限增加脈衝數。 Ref: LabOne Q：Amplitude Calibration with Error Amplification。

▲ 模擬教學示意。（A）固定形狀與時間的脈衝，以振幅決定旋轉角。（B）Ramsey 的振盪速度反映 detuning，包絡衰減則反映相干性。（C）DRAG 的 Q 分量與 I 包絡的時間導數成比例，並非把同一包絡複製到另一個通道。（D）\(T_1\) 曲線表示激發態人口，Ramsey 與 echo 曲線表示正規化相干對比度；三條曲線量的是不同物理量，不能混稱為同一種「壽命」。所有參數皆為模擬設定。

4. Fine-tuning qubit drive：Ramsey 與 DRAG

Ramsey：把頻率誤差變成可看見的相位

Spectroscopy 可以找到頻率的大致位置，但要細調驅動頻率，Ramsey 更敏感。序列是 \(\pi/2\rightarrow\tau\rightarrow\pi/2\)：第一個脈衝建立疊加態，等待期間累積相位，第二個脈衝把相位差轉成可讀取的人口差。在簡化的指數衰減模型中，

\[ P_1(\tau)=B+C e^{-\tau/T_2^*}\cos(2\pi\Delta f\tau+\phi_0),\qquad \Delta f=f_{01}-f_d. \]

擬合振盪頻率與包絡，就可以分別估計 detuning 與 \(T_2^*\)。原圖「Fine-tuning qubit drive」的 idle time 振盪，可用 Ramsey 的概念來理解。單一 cosine trace 通常無法直接判斷 detuning 的正負，因此需要已知的頻率偏移、第二個相位正交的量測，或再掃描驅動頻率來決定修正方向。有些控制系統透過第二個 \(\pi/2\) 脈衝的相位步進，人為加入已知的 Ramsey 振盪；這部分也要從擬合結果扣除。 Ref: LabOne Q：Ramsey Interferometry。

DRAG：避免轉得快，卻轉進 \(|2\rangle\)

Transmon 並非只有兩個能階，而是具有有限非諧性的多能階系統。脈衝越短，頻譜通常越寬，越可能影響 \(|1\rangle\leftrightarrow|2\rangle\) 轉換；即使最後沒有留下明顯漏態，也可能累積不想要的相位。DRAG（Derivative Removal by Adiabatic Gate）利用另一個微波正交分量補償這些效應，常見參數化形式是

\[ I(t)=A F(t),\qquad Q(t)=\beta\frac{dI(t)}{dt}. \]

依照上式，若 I、Q 使用相同振幅單位，\(\beta\) 就具有時間單位；軟體也可能先把時間正規化，再提供無因次的 DRAG 係數。正負號與數值會受到混頻器、軟體與時間單位定義影響，不能直接照抄別人的設定。實際做法是掃描 DRAG 係數，配合對相位敏感的脈衝序列；例如比較 \(X_{\pi/2}Y_\pi\) 與 \(X_{\pi/2}Y_{-\pi}\) 的響應，再用漏態量測與 benchmark 確認。相位誤差最小的係數，未必同時讓漏態最小，故頻率、振幅與 DRAG 往往需要交替微調。 Ref: Motzoi 等，DRAG 原始論文；LabOne Q：DRAG quadrature-scaling 校正。

5. Readout optimization：IQ 兩團分開，還要確認怎麼分

有了初步的 \(\pi\)-pulse，就可以交替準備 \(|0\rangle\) 與 \(|1\rangle\)，重複量測許多 shots，把每次讀到的 \(I+iQ\) 畫成散點。原圖中藍色、橘色的兩團點，就是常說的 IQ blobs。將連接兩團中心的方向旋轉到 I 軸後，簡單情況下可用一個 threshold 分類；若分布不對稱、含有弛豫軌跡或多個能階，就需要更合適的分類方式。讀出頻率、功率、積分時間、積分權重與門檻應一起考慮，並以未參與調參的 shots 檢查分類效果。 Ref: LabOne Q：IQ Blobs。

分類結果可以整理成 assignment matrix：

\[ M_{ij}=P(\text{判為 }i\mid\text{準備 }j),\qquad F_{\mathrm{assign}}=\frac{P(0|0)+P(1|1)}{2}. \]

這個定義採用兩種輸入態等權重。它和單量子位元閘保真度是不同的量，而且實際估計值還可能包含準備態錯誤、熱激發與讀出期間的 \(T_1\) 弛豫。故看到一團尾巴時，應先辨識是放大鏈雜訊、狀態準備、弛豫，還是讀出本身誘發了轉換。

讀出功率也不是越大越好。提高共振器光子數可以增加訊號，但過強讀出可能把 Qubit 推離計算子空間；積分越久雖可累積訊號，也給了 \(|1\rangle\) 更多時間弛豫。若目標是中途量測與量子糾錯，還要用重複量測檢查 QND 性質、量測後漏態與 reset 效果，而不只是讓兩團點看起來分開。 Ref: Sank 等，讀出誘發的量子態轉換。

▲ 模擬教學示意。（A）每一點代表一個 shot，虛線是簡化的一維分類門檻；重疊區會造成判讀錯誤。（B）另一組獨立的示範矩陣，直欄是準備態，橫列是判定結果，每一欄機率加總為 1。此例等權重 assignment fidelity 為 96%，不是由左圖散點計算，也不是 Qubit 的 gate fidelity。

6. Qubit coherence：\(T_1\)、\(T_2^*\) 與 echo 各代表什麼？

\(T_1\) 是能量弛豫時間。先用 \(\pi\)-pulse 準備 \(|1\rangle\)，等待 \(\tau\) 再讀出，常用模型是 \(P_1(\tau)=P_{\mathrm{eq}}+C e^{-\tau/T_1}\)。長時間的基線應允許熱人口與量測偏移，而不必強迫為零。原圖的「Qubit coherence」示範的是這類人口衰減，圖上的單一 \(T_1\) 值也只是當時量測條件下的估計。

\(T_2^*\) 則由 Ramsey 包絡取得，描述自由演化時疊加態失去相位一致性的速度。在兩個 \(\pi/2\) 脈衝中間加入 \(\pi\)-pulse，可以重新聚焦一部分慢速頻率擾動，得到 Hahn-echo 的 \(T_{2,\mathrm{echo}}\)。若 echo 明顯長於 Ramsey，表示低頻雜訊可能占有重要角色。對簡單、平穩的指數衰減模型，

\[ \frac{1}{T_2}=\frac{1}{2T_1}+\frac{1}{T_\phi},\qquad T_2\leq 2T_1. \]

其中 \(T_\phi\) 表示純退相位時間。若資料呈現 Gaussian 包絡、拍頻或時間漂移，就要使用相符的模型，不能把所有曲線硬套單一指數。相干時間提供操作速度的尺度，但閘操作期間還可能存在額外雜訊，因此 \(t_{\mathrm{gate}}/T_1\) 只是粗略的誤差尺度，不能直接當成完整的閘錯誤率。 Ref: Krantz 等，A Quantum Engineer’s Guide to Superconducting Qubits，Coherence 章節。

7. Two-qubit interaction：先量耦合，再談量子閘

兩個 Qubit 各自可以操作，還不代表已經能做雙位元閘。首先要知道：在待機時有多少殘餘耦合，操作時又能提供多強的交互作用。常見方法是準備一個激發態，例如 \(|10\rangle\)，掃描互動時間與 Qubit 或 coupler 的偏壓，再量測激發態是否轉移到 \(|01\rangle\)。橫軸是時間、縱軸是 detuning 或控制振幅、顏色是轉移機率，便可能得到 chevron 圖。

在理想的雙態交換模型中，若 \(H/\hbar\) 的非對角耦合是 \(g\)，detuning 為 \(\Delta\)，則

\[ P_{10\rightarrow01}(t)=\frac{4g^2}{\Delta^2+4g^2} \sin^2\!\left(\frac{\sqrt{\Delta^2+4g^2}\,t}{2}\right), \]

這裡 \(g\) 與 \(\Delta\) 都採角頻率單位。共振時轉移幅度最大，離開共振後幅度變小、振盪頻率改變，因而形成特徵紋路。但原圖的「Two-qubit interaction」只提供了小型色圖，不能僅憑紋路就斷定它測的是 \(|10\rangle\leftrightarrow|01\rangle\)、\(|11\rangle\leftrightarrow|02\rangle\)，或哪一種 coupler 實作；必須回到準備態、脈衝與讀出定義。 Ref: DiCarlo 等，可控制的雙量子位元交互作用。

另一個重點是殘餘 \(ZZ\)。分別把鄰居準備在 \(|0\rangle\) 與 \(|1\rangle\)，比較目標 Qubit 的 Ramsey 頻率，就能量到依鄰居狀態而改變的頻率偏移。這個偏移在待機時會累積不想要的條件相位；可調耦合器常需要一起校正 idle point 與 gate point，而不只是找最大耦合。 Ref: LabOne Q：ZZ Coupling。

8. Two-qubit gate calibration：以 CZ 為例

CZ 閘的理想形式是 \(\operatorname{diag}(1,1,1,-1)\)：前三個計算基底態維持相同的相對相位，\(|11\rangle\) 多得到一個 \(\pi\) 相位。某些 Transmon 實作會利用 \(|11\rangle\) 與 \(|02\rangle\) 或 \(|20\rangle\) 的 avoided crossing，也有使用可調耦合器的實作。這些方法的波形不同，但校正時都要同時注意條件相位、單位元相位與漏態。

若各基底態累積相位 \(\phi_{ij}\)，真正需要調到 \(\pi\pmod{2\pi}\) 的組合是

\[ \phi_{\mathrm{cond}}=\phi_{11}-\phi_{10}-\phi_{01}+\phi_{00}. \]

實驗上，先將目標位元準備成疊加態，另一個控制位元分別準備成 \(|0\rangle\) 與 \(|1\rangle\)，施加待測脈衝，再掃描分析脈衝的相位。兩組 Ramsey fringe 的相位差便給出條件相位。掃描 flux pulse 的振幅、長度或形狀，找出相位差接近 \(\pi\) 的區域；再量測兩個位元各自的動態相位，以 virtual Z 等方式補償。 Ref: Barends 等，超導 CZ 閘與控制波形校正。

同時還要檢查脈衝結束後是否留在 \(|2\rangle\)、是否仍有交換、波形尾巴是否影響下一個閘，以及平行操作時參數是否改變。條件相位正確，只代表完成了其中一個條件；如果每次 CZ 都把一部分人口漏出計算空間，它仍不是一個好的 CZ。最後必須放進完整序列做驗證。

▲ 模擬教學示意。（A）理想 \(|10\rangle\leftrightarrow|01\rangle\) 交換模型的 chevron，設定 \(g/(2\pi)=8\,\mathrm{MHz}\)，縱軸為 \(\Delta/(2\pi)\)，並非原始總覽圖的重建。（B）控制位元為 0 或 1 時，目標位元的條件 Ramsey 相差 \(\pi\)，用來說明 CZ 相位量測。（C）一量子位元 reference RB 與 interleaved RB 的示範曲線；不同曲線的衰減率需放在對應模型下解讀。（D、E）理想 Bell 態與古典混合態具有相同的對角人口，但 Bell 態還有非對角相干項；兩者的虛部在此理想例子中皆為零。

9. Randomized benchmarking：量到的是哪一種 fidelity？

Randomized benchmarking（RB）會施加不同長度的隨機 Clifford 序列，最後加上理想上能反轉整段序列的操作，量測回到指定初始態的機率。對許多序列平均後，常用 \(P(m)=A p^m+B\) 擬合。其中 \(m\) 是 Clifford 數，\(A\)、\(B\) 吸收一部分 state preparation and measurement（SPAM）的影響，\(p\) 描述隨深度增加的衰減。在標準模型成立時，

\[ r_{\mathrm{Clifford}}=\frac{d-1}{d}(1-p),\qquad d=2^n. \]

這是每個 Clifford 的平均錯誤率，不一定是每個實體脈衝的錯誤率。若把 Clifford 分解成多個原生閘，還需要知道編譯與噪聲假設，才能進一步解讀。量測時應保存不同隨機序列的分散、shots 數與擬合不確定度；若曲線出現多重衰減、漂移或明顯偏離模型，也要先檢查 leakage 與非平穩雜訊。 Ref: Magesan 等，Characterizing Quantum Gates via Randomized Benchmarking。

若要測某個指定閘，例如 CZ，可使用 interleaved RB：在每個隨機 Clifford 間插入待測閘，再與 reference RB 比較。在相應噪聲假設下，常用估計是

\[ r_{\mathrm{gate}}\approx\frac{d-1}{d}\left(1-\frac{p_{\mathrm{int}}}{p_{\mathrm{ref}}}\right). \]

它是帶有假設與界限的估計，不是對任何噪聲都成立的精確等式。原圖 RB 面板標有「1 − EPG」，但僅憑這張縮圖，無法確認其中 G 指 Clifford、原生閘或如何換算；故不宜把圖上數字直接當作前一步 CZ 的實測保真度。 Ref: Magesan 等，Interleaved Randomized Benchmarking。

10. Bell state tomography：除了人口，還要看到相干性

最後用完整的單位元閘、雙位元閘與讀出，準備一個 Bell 態，例如

\[ |\Phi^+\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2},\qquad \rho_{\Phi^+}=\frac12 \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1 \end{pmatrix}. \]

如果只用 Z basis 量到約一半 00、一半 11，仍不能證明有糾纏，因為古典混合態 \(\rho_{\mathrm{mix}}=(|00\rangle\langle00|+|11\rangle\langle11|)/2\) 也會給出相同機率。兩者的差別在於非對角的相干項。因此 tomography 需要在讀出前加上不同的分析旋轉，取得 X、Y、Z basis 的聯合量測；例如兩位元的九組局域基底設定，可提供重建密度矩陣所需的資訊。

重建後不只看 3D 長條有沒有「長得像」，也應確認矩陣 Hermitian、trace 為 1，以及正半定等物理條件。Bell-state fidelity 可寫成 \(F_{\Phi^+}=\langle\Phi^+|\rho|\Phi^+\rangle\)。在可信的兩位元狀態與量測模型下，超過 \(1/2\) 可作為相對於此 Bell 態的糾纏判據；實驗上仍須納入統計不確定度與 SPAM 影響。這裡的 fidelity 評估的是整段 Bell 態製備結果，並不等於單獨 CZ 閘的 fidelity。如果使用讀出誤差修正，亦應同時保留原始結果與修正方法。 Ref: James 等，雙量子位元 tomography、物理態重建與誤差分析；White 等，Bell-state fidelity 與糾纏判據。

校正完成後，如何維持可用的 QPU？

前面的流程並不是每次都從第一格重跑到最後一格。較合理的方式，是記錄參數之間的依賴關係：flux 操作點改了，\(f_{01}\) 可能改變；頻率改了，Rabi、DRAG 與讀出條件可能需要重驗；單位元相位或雙位元波形改了，下游 benchmark 也要重新確認。以 dependency graph 管理校正，就是讓系統知道哪些上游條件變動後，哪些下游結果需要更新。 Ref: Kelly 等，Physical Qubit Calibration on a Directed Acyclic Graph。

實務上每次更新應保存原始資料、時間、通道、脈衝版本、擬合模型與參數不確定度，再用另一組序列檢查是否真的改善。對多位元處理器，還要在實際會使用的平行操作與鄰居狀態下驗證。如此一來，Calibration 才能將頻率、振幅、相位與讀出分類這些控制設定，轉成可重現的量子操作。

一次校正要留下哪些可重用的參數？

以單一 Qubit 為例，Rabi 掃描完成後，不是只存一張圖，而是把選定的 \(A_\pi\)、\(A_{\pi/2}\)、脈衝長度、包絡與當時的驅動頻率一起存入設定；Ramsey 更新 \(f_d\)，DRAG 更新係數及其單位，讀出校正則更新讀出頻率、功率、積分權重與分類門檻。雙位元閘還需保存作用的位元對、flux 波形、持續時間、idle bias，以及兩個位元各自的相位補償。這些參數必須有一致的版本，否則下次執行很容易混用不同時間的設定。

每個步驟都可以依「掃描 → 擬合 → 暫存候選參數 → 獨立驗證」執行。先確認掃描涵蓋足夠的共振線形或振盪週期，再檢查擬合殘差與不確定度；通過驗證後才把候選值設成日常操作值。若新的參數使 error-amplification、讀出分類或 RB 結果變差，就保留原資料並回到上一個已驗證版本。本文的圖提供模型與判讀方法，實際掃描範圍、步距、shots 與通過門檻，則需依裝置響應、雜訊與所需精度決定。

▲ 讀懂校正圖，關鍵在於把「這張圖實際量到的東西」與「想驗證的量子操作」連起來。每一個環節都有自己的誤差來源，也都有下一個實驗可以交叉檢查。