量子演算與應用

在量子化學與材料科學中計算基態能量。

變分量子特徵求解器（Variational Quantum Eigensolver, VQE）是為應對當前NISQ硬體的局限性而設計的一種強大演算法。

原理： VQE是一種混合量子-古典演算法，它將任務在量子電腦和古典電腦之間進行分配 [52, 53, 54]：

1. 量子部分： 在量子處理器（QPU）上，根據一組由古典電腦提供的參數 \(\vec{\theta}\)，執行一個被稱為「Ansatz」的參數化量子電路，來製備一個試探性的量子態\(|\psi(\vec{\theta})\rangle\)。然後，對這個狀態重複進行測量，以估計某個給定哈密頓量\(H\) 的能量期望值\(E(\vec{\theta}) = \bra{\psi(\vec{\theta})}H\ket{\psi(\vec{\theta})}\) [52, 55]。
2. 古典部分： 在古典電腦上，運行一個優化演算法（如梯度下降或COBYLA）。它將QPU計算出的能量\(E(\vec{\theta})\) 作為成本函數，並根據這個值來調整參數 \(\vec{\theta}\)，目標是找到使能量最小化的參數組合 \(\vec{\theta}^*\)。然後將更新後的參數傳回QPU，開始下一輪迭代 [52, 53]。

這個過程基於量子力學的變分原理，即任何試探波函數的能量期望值都必然大於或等於系統真實的基態能量。因此，通過不斷迭代優化，VQE可以逐步逼近系統的基態能量 [54]。

影響： VQE是為NISQ時代量身定做的。它將複雜的優化任務交給古典電腦，而讓量子電腦專注於其擅長的、古典電腦難以完成的任務——製備和測量複雜的糾纏態。這種分工使得VQE對量子電路的深度要求較低，對噪聲也有一定的容忍度，因為噪聲的影響可以在一定程度上被古典優化器在迭代過程中校正 [54]。這使得VQE成為近期在量子化學、材料科學和藥物研發領域最有希望率先展示「量子優勢」的演算法之一，被廣泛用於計算分子基態能量、模擬化學反應路徑等任務 [1, 12, 53, 54, 55, 56, 57]。

這三種里程碑演算法的出現，不僅是理論上的突破，更深刻地反映了量子計算發展路徑與硬體現實之間的緊密互動。Shor和Grover演算法的誕生，點燃了人們對理想容錯量子電腦的期待。然而，建造這種電腦的巨大困難，催生了研究範式的轉變，即思考如何在不完美的NISQ設備上實現有價值的計算。VQE正是這一務實思考的智慧結晶，它開創的混合量子-古典計算模式，將在未來很長一段時間內繼續引領量子應用的探索。

變分量子本徵值求解器（簡稱VQE）是近年來為適應含雜訊中等規模量子裝置（NISQ時代）而提出的量子混合演算法:contentReference[oaicite:55]{index=55}。VQE利用一個參數化的量子電路來準備系統的試探態，然後通過在量子電腦上測量該態的哈密頓量期望值，並使用經典電腦優化電路參數以最小化期望值:contentReference[oaicite:56]{index=56}。根據里茲變分原理，期望值的下限即為此哈密頓量的基態能量:contentReference[oaicite:57]{index=57}。因此經過反覆迭代，VQE可以找到接近分子或材料基態能量的近似解，是量子化學模擬中的核心工具之一:contentReference[oaicite:58]{index=58}。

在實作上，VQE演算法先由量子電腦準備含有可調參數θ的參數化量子態 \(\ket{psi\left( \theta \right)}\)，通常選用具有問題針對性的電路結構（例如利用化學中的耦合簇態Ansatz作為模板）。接著量子電腦測量態 |ψ(θ)⟩ 下目標哈密頓量 H 的期望值 〈ψ(θ)|H|ψ(θ)〉。透過經典優化器（如梯度下降或進化策略），調整θ以減小期望值:contentReference[oaicite:59]{index=59}。如此在量子與經典計算間反覆迴圈，最終θ將收斂至使期望值極小的位置，此時 |ψ(θ)⟩ 即為H的近似基態，期望值近似基態能量。

VQE的重要優勢在於對量子硬體要求相對較低：它使用的量子電路通常很淺，所需相干時間短，非常適合目前具雜訊的中小型量子計算機:contentReference[oaicite:60]{index=60}。同時，將繁重的參數搜尋工作交由經典電腦完成，部分緩解了量子資源不足的問題:contentReference[oaicite:61]{index=61}。VQE已被成功應用於小型分子的基態能量計算，如H₂、LiH等，展示了量子計算在化學計算上的潛力:contentReference[oaicite:62]{index=62}。展望未來，隨著量子位元數量和品質的提升，VQE有望拓展至更複雜的量子模擬任務，例如材料科學中的能帶結構計算或蛋白質摺疊中的能量優化。作為目前NISQ時代的「明星」演算法，VQE在量子化學、優化以及機器學習等領域都被寄予厚望。

變分量子演算法與混合量子經典應用（VQE 等）

變分量子演算法（Variational Quantum Algorithms, VQA）是一類結合量子計算與經典計算優勢的演算法架構，非常適合當前雜訊中等規模量子（NISQ）器件wulixb.iphy.ac.cn。其核心思想是在量子處理器上執行一個帶有可調參數的參數化量子電路來產生候選解，然後利用經典電腦根據測量結果評估解的品質，通過優化演算法迭代更新量子電路參數blog.csdn.net。在這種混合量子-經典循環中，量子計算負責狀態制備與部分計算，經典計算負責根據目標函數指標調整參數。由於每次量子運算的電路深度可較短，變分演算法能在一定程度上容忍NISQ裝置的噪聲，成為近期展示量子優勢的最有希望路線之一wulixb.iphy.ac.cn。典型的變分量子演算法包括變分量子本徵求解器（VQE）和前文討論的量子近似最佳化演算法（QAOA）等。

VQE（Variational Quantum Eigensolver）是變分量子演算法中最成功和受關注的例子之一zhuanlan.zhihu.com。它最初由Peruzzo等人在2014年提出，旨在計算分子或量子系統的基態能量等本徵值問題zhuanlan.zhihu.com。VQE將求解哈密頓量 \(H\) 最低本徵值的問題轉化為變分優化問題：準備一個含參數\(boldsymbol{\theta}\)的試探量子態 \(|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle\)，在量子硬體上測量其能量期望值 \(E(\boldsymbol{\theta})=\langle \psi(\boldsymbol{\theta})|H|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle\)，再由經典優化器調整參數，最小化 \(E(\boldsymbol{\theta})\)blog.csdn.net。根據變分原理，最小化後的 \(E(\boldsymbol{\theta})\) 即為接近真實基態能量的值，而對應的量子態則近似於基態blog.csdn.net。透過這種方法，我們無需執行深度量子電路就可以利用量子計算的指數維空間來表示狀態，同時將繁重的優化計算交給經典處理器完成，可謂揚長避短。VQE在量子化學領域具有極大應用前景，因為分子哈密頓量的基態能量決定了分子的穩定結構和化學性質，精確求解該能量對於新藥研發、催化劑設計等至關重要finance.sina.cn。然而隨著分子規模擴大，哈密頓量矩陣維度呈指數增長，經典計算無法精確處理；VQE則可望利用量子態的豐富表達力，在可控範圍內計算較大分子的基態能。

實際進展：

VQE自提出後很快在小型量子裝置上獲得驗證。IBM在2017年前後使用4個超導量子比特的處理器，成功計算了氫分子 (\(H_2\)) 的基態能量曲線，結果與化學理論值吻合在化學精度（1 kcal/mol）範圍內。隨後又有研究計算了鋰氫（LiH）、鉍烷（BeH₂）等更複雜分子的能譜，雖因噪聲影響需要誤差糾正和推測，但展示了VQE可隨比特數擴展到更多電子系統siqse.sustech.edu.cnblog.csdn.net。2020年，谷歌團隊利用他們53量子比特的超導量子處理器「Sycamore」，與哥倫比亞大學合作實現了16個量子比特參與的量子化學計算，是當時最大尺度的化學模擬finance.sina.cn。他們採用了一種改良的混合演算法（結合受限費米子蒙地卡羅與VQE思想），成功計算出鑽石晶格中兩個碳原子的基態能量，精度比此前12量子比特的結果更高finance.sina.cnfinance.sina.cn。這項工作發表於《Nature》，標誌著量子計算模擬實際材料邁出重要一步。同樣在2023年，中国科學技術大學郭少軍等團隊結合硬體增強和錯誤緩解技術，將VQE算法拓展到12個量子比特的超導量子處理器上運行，並成功將總誤差抑制了約兩個數量級，實現在含噪硬體上更可靠的化學計算blog.csdn.netblog.csdn.net。這些成果表明，儘管NISQ裝置仍有限，但透過創新演算法和實驗技巧，可以逐步提升變分演算法可處理的問題規模與精度。

瓶頸分析：

變分量子演算法雖有潛力，但也面臨多重挑戰。首先，高品質解需要足夠深的量子電路才能表達，而較深電路又受到NISQ硬體噪聲的限制，出現兩難。變分電路如果過淺，可能無法涵蓋問題哈密頓量的低能態空間；但電路過深，雜訊累積將使測量期望值偏離真值，導致優化無效。其次，參數優化的難度隨電路深度和參數數目上升而顯著增加。實證研究發現，參數空間維度大時常出現Barren Plateau（貧瘠高原）現象，即目標函數對參數的梯度幾乎為零，使得經典優化無從下手。如何選擇良好的初始參數、優化路徑和演算法，是當前VQA研究熱點之一。再者，不同問題可能需要針對性設計參數化電路的Ansatz形式。一種Ansatz在某類問題上有效，但換另一類問題可能表現不佳，需要專家知識指導設計。例如在量子化學中，常用UCC（酉耦合簇） ansatz來高效捕捉電子相關，但對固態物理問題可能需不同Ansatzblog.csdn.net。最後也是最關鍵的，VQE等變分演算法要在實務中擊敗經典方法，需要量子硬體持續進步。目前多數VQE實驗還局限於經典可模擬的小分子或模型，尚未達到「實用量子優勢」的地步blog.csdn.net。研究指出，目前在真實量子硬體上的化學模擬最大規模不超過約20量子比特，而且為達化學精度（誤差 <\(1.6\times 10^{-3}\) Ha），對演算法和硬體的要求極高zhuanlan.zhihu.com。因此短期內，變分演算法主要在demo性質的問題上展現性能，真正在工業級應用上超越經典，尚需硬體再前進一至兩個數量級。

應用前景：

即便如此，變分量子演算法被認為是NISQ時代最有希望產生價值的路線之一。在量子化學方面，除了基態能量，VQE框架已拓展來計算激發態能量（如變分自適應算法），以及化學反應動力學模擬（如時間序列VQE）。在材料科學領域，VQE可用於研究簡單材料模型的能帶結構或磁性特徵，配合量子嵌入（quantum embedding）方法有望處理固態材料的區域性強關聯問題nsfc.gov.cn。在組合最佳化領域，QAOA作為變分演算法的代表，已在先前章節討論。另一值得關注的方向是量子機器學習中的變分電路，例如變分量子分類器、量子神經網絡等，它們利用參數化電路學習資料的特徵，可以看作量子版的深度學習模型crad.ict.ac.cn。這類演算法結構與VQE類似，也遇到參數訓練和噪聲挑戰，但若硬體允許更大規模，它們有潛力處理高維數據分析、模式識別等問題。總而言之，變分量子演算法以其混合架構有效結合了現有量子和經典資源，為實現早期量子計算應用提供了可行途徑wulixb.iphy.ac.cn。隨著量子比特數量增加及誤差減少，這些混合演算法有望逐步拓展在藥物分子設計、新材料發現、優化調度甚至機器學習中的應用範圍，率先體現量子計算對實際問題的助益。