量子演算與應用

：結合量子與古典計算的混合策略，適用於 NISQ 硬體。

2.6 量子近似優化演算法 (Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA)

量子近似優化演算法（QAOA）是由Farhi等人於2014年提出的一種混合量子經典演算法:contentReference[oaicite:63]{index=63}。它受到量子絕熱演化思想的啟發，旨在針對NP-hard的組合最佳化問題在多項式時間內找到一個「足夠好」的近似解:contentReference[oaicite:64]{index=64}。QAOA通過在量子電腦上交替執行參數化的問題哈密頓量和混合哈密頓量的時間演化來逐步逼近目標解。其中，問題哈密頓量通常用來對應待優化的目標函數（例如Max-Cut問題的目標可轉換為各邊是否被切開的指標函數），混合哈密頓量則用來提供量子隨機性與跳出局部極值的途徑。

具體而言，QAOA首先將所有量子比特初始化在易於準備的均勻疊加狀態（通常是各比特|+⟩態）。然後定義問題哈密頓量 H_P（其基態編碼了優化問題的理想解）和一個簡單的混合哈密頓量 H_M（例如令所有比特沿X方向的磁場項）。QAOA演算法通過選擇一系列參數 (γ₁, β₁; γ₂, β₂; ...; γ_p, β_p)，交替演化量子態：依序施加 e^-iγ₁H_P、e^-iβ₁H_M、e^-iγ₂H_P、e^-iβ₂H_M...如此進行p輪，最後測量量子態得到一組比特解。透過經典優化器調整參數γ_i、β_i以最大化所得解的目標函數值，即可逐步逼近最優解:contentReference[oaicite:65]{index=65}。

當p趨於無限大且參數適當選取時，QAOA理論上等價於絕熱量子計算，能得到精確解。但在有限p下，QAOA提供的是一個近似解，其品質通常隨p增加而提升。QAOA的一大吸引力在於p可以取相對較小的值（例如p=1或2），就能超越某些古典啟發式的性能，且所需量子門深度較淺，適用於NISQ裝置:contentReference[oaicite:66]{index=66}:contentReference[oaicite:67]{index=67}。最初的論文中，QAOA以Max-Cut圖切割問題為例展示了演算法流程:contentReference[oaicite:68]{index=68}。此後研究者將其推廣到各種組合最佳化問題，如著名的旅行商問題、圖著色問題等。同時也在探索其在機器學習（例如訓練特定模型參數）上的應用可能性。

需要注意的是，QAOA目前並無嚴格證明能對所有問題皆超越傳統演算法，但大量數值實驗對某些問題顯示出優勢。此外，QAOA演算法易受量子雜訊影響：由於需要多次量子門交替，NISQ裝置上的噪聲可能會降低結果品質:contentReference[oaicite:69]{index=69}。因此，一方面研究者在改進參數優化策略和變體演算法以提升效果，另一方面也在等待更高品質的量子硬體來充分發揮QAOA的潛力。