量子相位估計 (QPE)

  • 量子相位估計 (QPE)：用於估計酉算符本徵值的關鍵演算法。

    • 4. 量子相位估算 (QPE): 解鎖特徵值

    量子相位估算（Quantum Phase Estimation, QPE）是另一個基石級的量子演算法，其重要性與QFT不相上下。它的核心任務是估計一個酉算符的特徵值所對應的相位。

    4.1 演算法目標與原理

    QPE演算法要解決的問題是：給定一個酉算符\(U\) 和它的一個特徵態\(\ket{\psi}\)，它們滿足特徵方程\(U\ket{\psi} = e^{2\pi i\theta}\ket{\psi}\)。演算法的目標就是以高精度估計出這個相位\(\theta\) [33, 34, 35]。由於任何酉算符的特徵值的模長都為1，因此其特徵值完全由相位\(\theta\)（通常取值在）。

    4.2 演算法步驟詳解

    一個標準的QPE演算法使用兩個量子暫存器 [35, 37]：

    • 一個\(t\) 個量子位元的計數暫存器，初始狀態為\(|0\rangle^{\otimes t}\)。\(t\) 的大小決定了最終估計的精度。
    • 一個\(m\) 個量子位元的目標暫存器，用於儲存給定的特徵態\(\ket{\psi}\)。

    演算法的執行流程如下：

    1. 初始化 (Initialization): 將目標暫存器製備到特徵態\(\ket{\psi}\)。對計數暫存器中的每一個量子位元施加Hadamard閘，使其進入所有\(2^t\) 個計算基態的均勻疊加態： \(\frac{1}{\sqrt{2^t}}\sum_{k=0}^{2^t-1}\ket{k} \otimes \ket{\psi}\) [30, 33, 37]
    2. 受控酉操作 (Controlled-U Operations): 這是演算法的關鍵步驟。對目標暫存器施加一系列受控的\(U\) 操作，具體來說，是\(U^{2^j}\) 操作，其控制位是計數暫存器的第\(j\) 個量子位元（從\(j=0\) 到\(t-1\)）。當計數暫存器的第\(j\) 位為\(|1\rangle\) 時，對目標暫存器施加\(U^{2^j}\)；若為\(|0\rangle\)，則不進行任何操作。這個過程利用了所謂的「相位回踢」（phase kickback）機制。經過所有\(t\) 個受控操作後，系統的狀態變為： \( \frac{1}{\sqrt{2^t}}\sum_{k=0}^{2^t-1}\ket{k} \otimes U^k\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2^t}}\sum_{k=0}^{2^t-1} e^{2\pi i\theta k}\ket{k} \otimes \ket{\psi}\) 此時，未知的相位\(\theta\) 已經被巧妙地編碼到了計數暫存器各個基態的相對相位中 [33, 34]。
    3. 逆量子傅立葉轉換 (Inverse QFT): 對計數暫存器施加逆量子傅立葉轉換（QFT\(^\dagger\)）[30, 33, 37]。這個操作的作用是將編碼在相位中的資訊轉換回計算基。如果相位\(\theta\) 恰好可以表示為一個\(t\) 位的二進制小數，即\(\theta = j/2^t\)（其中\(j\) 為整數），那麼逆QFT會將計數暫存器的狀態精確地從\(\frac{1}{\sqrt{2^t}}\sum_{k=0}^{2^t-1} e^{2\pi i (j/2^t) k}\ket{k}\) 轉換為單一的計算基態\(|j\rangle\) [34, 38]。
    4. 測量 (Measurement): 最後，對計數暫存器進行測量。測量結果將以非常高的機率得到整數\(j\)。由此，我們可以得到相位的估計值\(\tilde{\theta} = j/2^t\) [34, 37]。如果\(\theta\) 不能被\(t\) 位精確表示，測量結果會是以最接近\(2^t\theta\) 的整數為中心的機率分佈，增加\(t\) 可以提高估計的精度 [33, 35]。

    QPE的結構——「初始化疊加 -> 受控操作 -> 逆QFT -> 測量」——是量子演算法設計的一個經典模式。它揭示了一個深刻的設計思想：利用一個輔助量子系統（計數暫存器）作為探針，去「測量」主系統（目標暫存器）的內在屬性（相位），然後再對這個探針進行變換和測量來讀出結果，而全程無需直接干擾主系統的特徵態。這正是量子演算法能夠在不違反量子測量基本公理的前提下，提取出複雜資訊的關鍵所在。

    2.2 量子相位估計演算法 (Quantum Phase Estimation)

    量子相位估計（QPE）演算法旨在估計給定酉算符U的本徵態所對應的本徵值相位:contentReference[oaicite:31]{index=31}。換言之，如果有U的本徵態 |ψ⟩滿足U|ψ⟩ = e2πiφ|ψ⟩，且|ψ⟩可用量子電路製備，QPE能夠高概率地測得相位φ的近似值。QPE是許多進階量子演算法的基本組件，包括Shor演算法中的周期尋找、HHL線性方程演算法中的本徵值求解等:contentReference[oaicite:32]{index=32}。其電路包含兩個量子暫存器：一個用來累積相位資訊（通常初始化為|0…0⟩態，長度取決於所需精度），另一個存放待測酉算符的本徵態:contentReference[oaicite:33]{index=33}。

    QPE的步驟可分為三階段:contentReference[oaicite:34]{index=34}：(1) 對第一寄存器的所有qubit施加Hadamard閘以形成均勻疊加；同時以這些qubit為控制，對第二寄存器反覆施加U的冪次（1,2,4,...2t-1）的受控-U閘:contentReference[oaicite:35]{index=35}。經此步驟後，第一寄存器的量子態中已隱含了待估相位的信息。(2) 對第一寄存器執行逆量子傅立葉變換QFT†:contentReference[oaicite:36]{index=36}，將各基底中的相位信息轉化為幅度疊加的集中表現。(3) 量測第一寄存器，取得一組測量結果位元串，將其視為二進位小數再除以2t即得到φ的估計值:contentReference[oaicite:37]{index=37}。透過增加寄存器長度t，可提高估計精度並降低錯誤概率。

    QPE在時間複雜度上是多項式級的：若U可以在多項式時間實現受控操作，那麼QPE求取d位精度所需的受控-U次數約O(d)，總體算法複雜度為O(d·\text{Cost}(U))，遠優於經典對應方法。QPE最重要的應用在於將量子計算的週期發現問題高效化。透過QPE，我們可以在量子電腦上以多項式時間解決某些古典上需指數時間的問題，例如Shor演算法利用QPE來從指數級域（模指數）中提取周期:contentReference[oaicite:38]{index=38}。同時，量子相位估計也是量子化學中求取分子哈密頓量本徵能量的核心子程序，在變分演算法（如VQE）的輔助下，可計算分子的激發態和基態能量。

    王培儒 量子演算與量子應用