隱藏子群問題

陪集 (Cosets) 的定義：

給定一個群\(G\)和一個子群\(H\)，對於\(G\)中的一個元素\(g\)，\(H\)的一個左陪集是所有由\(g\)乘以\(H\)中每個元素所形成的集合，記作 \(gH = \{gh | h \in H\}\) 。類似地，右陪集為 \(Hg = \{hg | h \in H\}\)。陪集的一個關鍵性質是它們將群\(G\)劃分為不相交的子集。

比較平易近人的說法，可以用「餘數」的概念來理解子群有關的陪集。舉例而言，整數\(\mathbb{Z}\)是加法群，所有\(5\)的倍數\(5\mathbb{Z}= \{...,-10,-5,0,5,10,... \}\)，是個加法子群（\(5\)的倍數相加還是\(5\)的倍數）。任何數字\(a\)都可以寫成 \(a=5*n+b\)，\(b\)就是除以\(5\)的餘數，只可能為\(b=0,1,2,3,4\)。現在，我們可以把每個數字根據除以\(5\)餘數分成五大類(記作\(\mathbb{Z}_5\))：
\([0]=...,-10,-5,0,5,10,...\)
\([1]=...,-9,-4,1,6,11,...\)
\([2]=...,-8,-3,2,7,12,...\)
\([3]=...,-7,-2,3,8,13,...\)
\([4]=...,-6,-1,4,9,14,...\)
每一個這便是陪集！陪集構成的集合記作\(\mathbb{Z}_5=\{[0],[1],[2],[3],[4] \}\)。抽象而言，陪集是群\(G\)對子群\(H\)取商後，根據「餘數」來標記每個元素處在哪一個類別當中。一般來說而言，左陪集構成的集合常記做\(G/H\)。 在這個例子當中，\(\mathbb{Z}_5 \equiv \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\)。因為加法是交換群，所以左右陪集相同。

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