隱藏子群問題

為了深入理解隱藏子群問題，首先必須掌握其數學基礎——群論。群論為HSP的定義提供了必要的抽象結構。

群 (Group,\(G\)) 的定義：

一個群\(G\)是一個非空集合，配備一個二元運算（通常表示為乘法或加法）\(*:G \times G \to G\)，並滿足四個基本公理。這些公理包括：

• 封閉性：對\(G\)中任意兩個元素進行運算，結果仍在\(G\)中。\(a,b \in G, a*b \in G\)

• 結合律：運算順序不影響結果。\((a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c\)

• 單位元 \(e\)：存在一個唯一的元素\(e\)在G中，使得對於\(G\)中任意元素\(a\)，\(a * e = e * a = a\)。

• 逆元：對於\(G\)中的每個元素\(a\)，都存在一個唯一的逆元\(a^{-1}\)，滿足\(a * a^{-1} = a^{-1} * a = e\) 。

有限群的元素個數稱為其階(rank)，記作\(|G|\) 。

範例：整數集\((\mathbb{Z},+)\)在加法運算\(+\)下構成一個群。

範例：\(n \times n\)可逆矩陣\((Gl(n),*)\)在矩陣乘法\(*\)下構成一個群。

子群 (Subgroup, \(H\subset G\)) 的定義：

對群結構有了解後，就要進一步來了解子群。 群\(G\)的一個子群\(H\)是\(G\)的一個非空子集，在\(G\)的相同二元運算下，\(H\)本身也滿足所有四個群公理。 對於\(H\)中任意兩個元素\(x, y\)，它們的乘積(\(x * y\))必須在\(H\)中，且\(x\)的逆元(\(x^{-1}\))也必須在\(H\)中。 這意味著子群本身就是一個群。符號 \(H \subset G\) 表示H是G的一個子群。

範例：整數集\((\mathbb{Z},+)\)當中，所有偶數在加法運算\(+\)下構成一個子群，因為偶數\(+\)偶數\(=\)偶數，但奇數不然。

本文部分內容經由 AI 工具協助生成與編輯，經作者審核。